Little cube の成す空間や関連した空間

\(j\) 個の little \(n\)-cube の成す空間 \(\cC _{n}(j)\) は, 元々 Boardman と Vogt が [BV73] で導入したものであるが, それを用いて多重ループ空間の理論を完成させたのは、 May [May72] である。

May は, その中で \(\mathcal{C}_n(j)\) を \(j\) に関し全て集めたものの持つ構造を抽象化して, operad という概念を定義した。Operad は, 現在ではトポロジーだけでなく, 代数や, 数理物理などでも重要な概念になっている。

• little cubes operad とその変種

\(\mathcal{C}_n(j)\) を \(j\) に関して集めたものは, operad の構造を忘れても重要な用途がある。多重ループ空間 の combinatorial なモデルの構成である。それについては次のページにまとめた。

• 多重ループ空間のモデル

また, 位相空間としては, little cube の空間が Euclid空間の点の configuration space とホモトピー同値であるということは重要である。 例えば, このことから, little square の空間 \(\mathcal{C}_2(j)\) が \(K(\pi ,1)\) であることが分かる。

• \(\mathcal{C}_n(j)\) は \(\mathrm{Conf}_{j}(\R ^n)\) と \(\Sigma _j\)-equivariant にホモトピー同値。
• \(\mathcal{C}_2(j)\) は, 基本群が pure braid group で\(2\)次元以上のホモピー群が消えている。

よって, \(\mathcal{C}_2(j)\) の universal cover は, braid群が自由に作用する可縮な空間となる。Fiedorowicz は, この性質が, \(E_2\)-operad を特徴付けるものであることを示した。

• \(\mathcal{C}_2(j)\) の universal cover達には \(\mathcal{C}_2\)の operad の構造を cover するような operad の構造が入る。

\(\mathcal{C}_2(j)\) は, 複素平面の configuration space \(\mathrm{Conf}_{j}(\bbC )\) とホモトピー同値であるが, \(\mathrm{Conf}_{j}(\bbC )\) のuniversal cover については, hyperplane arrangement の complement としての研究がある。

多重ループ空間のモデルに用いられるものとしては, little cubeの空間の他にも Milgram の permutahedron を用いたもの [Mil66] や Segal による configuration space によるもの [Seg73] などがある。 Little cube の空間とこれら空間の関係については, C. Berger [Ber96] を見るとよい。もっとも, この論文はフランス語 なので, Osnabrück で行なわれた1998年の workshop のまとめに入っている C. Berger の解説を読むのがよいだろう。 この「まとめ」の中には他にも有用な解説が含まれていて, operad を扱う際には一度は目を通しておくべきである。

他には, little disk の空間や configuration space の Fulton-MacPherson compactification [FM94] として得られる空間も little cube の空間とホモトピー同値である。これは Kontsevich [Kon99] による, little disk の空間が formal であることの証明に使われている。Sinha の [Sin06] では, Kontsevich operad と呼ばれている。

• Kontsevich operad
• little disk の空間は formal

この Kontsevich の formality は, Hochschild cochain に little disk operad の singular cochain complex からできた operad が作用するという Deligne予想と組み合わせることにより, deformation quantization の formality を得るためのものである。

この Deligne 予想のように代数的な構造を調べる際にも little disk (cube) の空間が使われるようになってきたのは面白い。

この Kontsevich の結果の証明を詳しく書いたものとして, Lambrechts と Volic の [LV] がある。彼らの motivation は, Goodwillie と Weiss の埋め込みの空間の calculus のようである。彼らは, Kontsevich の証明を詳しく書いただけでなく, 3つの拡張 (改良) も得ている。

他にも, Tamarkin による formality の証明 [Tam03] があり, その際の quasi-isomorphism の列と Kontsevich の quasi-isomorphism の列の比較が, Severa と WillWacher [ŠW11] により行なわれている。

Petersen [Pet14] は Grothendieck-Teichmüller group を使った証明を与えていて, 興味深い。

• Grothendieck-Teichmüller theory

\(\cC _{n}\) は, \(E_{n}\)-operad なので, 当然 \(E_{n}\)-algebra を調べるときには, 必要になる。例えば, factorization homology など。 実際 Lurie の [Lur] の Chapter 5 は, little cube に関することである。

上記のように立方体ではなく disk を使う流儀もある。関連した空間として, disk の中に埋め込まれたいくつかの disk の configuration space がある。 Kontsevich のように, operad として考える場合は, 半径に制限をつけないが, 応用トポロジーでは, 半径を一定にした disk の configuration space が考えられている。Carlsson ら [Car+] は configuration space of hard disks と呼んでいる。

• configuration space of hard disks

次元の違う disk を入れることも考えられている。Alpert [Alp] は, 線分の円板の中の配置の成す空間を考えている。この Alpert の論文では, これらの空間に関する様々な予想や問題が提案されている。

References

[Alp]

Hannah Alpert. Restricting cohomology classes to disk and segment configuration spaces. arXiv: 1608.06612.

[Ber96]

Clemens Berger. “Opérades cellulaires et espaces de lacets itérés”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 46.4 (1996), pp. 1125–1157. url: http://www.numdam.org/item?id=AIF_1996__46_4_1125_0.

[BV73]

J. M. Boardman and R. M. Vogt. Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 347. Berlin: Springer-Verlag, 1973, pp. x+257.

[Car+]

Gunnar Carlsson, Jackson Gorham, Matthew Kahle, and Jeremy Mason. Computational topology for configuration spaces of hard disks. arXiv: 1108.5719.

[FM94]

William Fulton and Robert MacPherson. “A compactification of configuration spaces”. In: Ann. of Math. (2) 139.1 (1994), pp. 183–225. url: http://dx.doi.org/10.2307/2946631.

[Kon99]

Maxim Kontsevich. “Operads and motives in deformation quantization”. In: Lett. Math. Phys. 48.1 (1999). Moshé Flato (1937–1998), pp. 35–72. arXiv: math/9904055. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007555725247.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[LV]

Pascal Lambrechts and Ismar Volic. Formality of the little \(N\)-disks operad. arXiv: 0808.0457.

[May72]

J. P. May. The geometry of iterated loop spaces. Lectures Notes in Mathematics, Vol. 271. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. viii+175.

[Mil66]

R. James Milgram. “Iterated loop spaces”. In: Ann. of Math. (2) 84 (1966), pp. 386–403. url: http://dx.doi.org/10.2307/1970453.

[Pet14]

Dan Petersen. “Minimal models, GT-action and formality of the little disk operad”. In: Selecta Math. (N.S.) 20.3 (2014), pp. 817–822. arXiv: 1303.1448. url: https://doi.org/10.1007/s00029-013-0135-5.

[Seg73]

Graeme Segal. “Configuration-spaces and iterated loop-spaces”. In: Invent. Math. 21 (1973), pp. 213–221. url: https://doi.org/10.1007/BF01390197.

[Sin06]

Dev P. Sinha. “Operads and knot spaces”. In: J. Amer. Math. Soc. 19.2 (2006), 461–486 (electronic). arXiv: math/0407039. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-05-00510-2.

[ŠW11]

Pavol Ševera and Thomas Willwacher. “Equivalence of formalities of the little discs operad”. In: Duke Math. J. 160.1 (2011), pp. 175–206. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-1443502.

[Tam03]

Dmitry E. Tamarkin. “Formality of chain operad of little discs”. In: Lett. Math. Phys. 66.1-2 (2003), pp. 65–72. arXiv: math/9809164. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:MATH.0000017651.12703.a1.