Torsion

Torsion といっても, Abel群の位数有限の元のことではない。 多様体の不変量のことである。

• Reidemeister torsion or R-torsion [Rei35; Fra35; Rha36]
• Ray-Singer torsion [RS71]
• analityc torsion [BL95]
• Milnor-Turaev torsion
• dynamical torsion

Pavel Mnëv による解説 [Mne] やLück による survey [Lüc16] がある。Lott の [Lot25] は, Ray-Singer torsion の解説であるが, その topological precedent として, Reidemeister torsion についても詳しく書かれている。

Burghelea と Haller [BH08] は, これら torsion の 表現の成す空間 (variety) の上の有理関数としての解釈を与えている。

Reidemeister torsion のホモトピー論的な定義としては, Dwyer と Weiss と Williams の [DWW03] がある。 Parametrized version は Bismut と Lott の定義と Dwyer と Weiss と Williams の定義がある。 Badzioch と Dorbiala は, [BD07] で parametrized Reidemeister torsion と parametrized Euler characteristic の additivity について調べている。Dwyer と Weiss と Williamsの仕事を元に, 彼らは Williams と共に [BDW09] で smooth torsion の parametrized version を定義している。

Chung と Lin は, [CL09] で chain complex の間の quasi-isomorphism に対し, Reidemeister torsion の類似を定義している。

References

[BD07]

Bernard Badzioch and Wojciech Dorabiała. “Additivity for the parametrized topological Euler characteristic and Reidemeister torsion”. In: \(K\)-Theory 38.1 (2007), pp. 1–22. arXiv: math/0506258. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10977-007-9009-y.

[BDW09]

Bernard Badzioch, Wojciech Dorabiała, and Bruce Williams. “Smooth parametrized torsion: a manifold approach”. In: Adv. Math. 221.2 (2009), pp. 660–680. arXiv: 0711.1911. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.01.005.

[BH08]

Dan Burghelea and Stefan Haller. “Torsion, as a function on the space of representations”. In: \(C^{\ast }\)-algebras and elliptic theory II. Trends Math. Basel: Birkhäuser, 2008, pp. 41–66. arXiv: math/0507587. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-7643-8604-7_2.

[BL95]

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[CL09]

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[DWW03]

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[Fra35]

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[Lot25]

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[Lüc16]

Wolfgang Lück. “Survey on analytic and topological torsion”. In: The legacy of Bernhard Riemann after one hundred and fifty years. Vol. II. Vol. 35. Adv. Lect. Math. (ALM). Int. Press, Somerville, MA, 2016, pp. 379–416. arXiv: 1502.07584.

[Mne]

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[Rei35]

Kurt Reidemeister. “Homotopieringe und Linsenräume”. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11.1 (1935), pp. 102–109. url: https://doi.org/10.1007/BF02940717.

[Rha36]

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[RS71]

D. B. Ray and I. M. Singer. “\(R\)-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds”. In: Advances in Math. 7 (1971), pp. 145–210. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(71)90045-4.