Orbifold の Euler標数

Orbifold に対しては, 古くから Euler標数の一般化が考えられてきた。

Global quotientの 場合, 通常のEuler標数が \[ \chi (M/G) = \frac{1}{|G|}\sum _{g\in G} \chi (M^{\langle g\rangle }) \] と書けるのに対し, “orbifold Euler標数”を \[ \chi _{\textrm{orb}}([M/G]) = \frac{1}{|G|}\sum _{gh=hg} \chi (M^{\langle g,h\rangle }) \] で定義すべきと主張したのは, string theorist (Dixon, Harvey, Vafa, Witten) [Dix+85; Dix+86] だったようである。 Hirzebruch と Höfer の [HH90] には, “physicists’ formula” として引用されている。その後, 一般の orbifold にもその定義が拡張されている。Atiyah と Segal の [AS89] や Hirzebruch と Hofer の [HH90] など。

自然なアイデアは, これを commuting pair から mutually commuting \(m\)-tuple に拡張することであるが, それは Atiyah と Segal の [AS89], Bryan と Fulman の [BF98], そして Tamanoi の [Tam01; Tam03] などで行われている。 これらは Gusein-Zade, Luengo, Melle-Hernández の [GLM] では higher orbifold Euler characteristic と呼ばれている。

• higher orbifold Euler characteristic

Farsi と Seaton は [FSb; FSa] でその更なる一般化を考えている。それには, 有限生成離散群 \(\Gamma \) に対する sector の拡張 (\(\Gamma \)-sector) [FSc] が用いられている。 Gusein-Zade と Luengo と Melle-Hernández は [GLM] で Lie 群の作用の場合に一般化している。

Leinster は [Lei08] で 組み合せ論的に定義された small category のEuler 標数を定義し, orbifold の単体分割で得られる simplicial complex の face poset から得られる small category の場合, orbifold の通常の Euler 標数と一致することを示している。

Leinster の Euler 標数の元になっている Betti数, そしてその categorification, つまり orbifold cohomology を一般化する small category のコホモロジー論は, あるのだろうか?。

References

[AS89]

Michael Atiyah and Graeme Segal. “On equivariant Euler characteristics”. In: J. Geom. Phys. 6.4 (1989), pp. 671–677. url: http://dx.doi.org/10.1016/0393-0440(89)90032-6.

[BF98]

Jim Bryan and Jason Fulman. “Orbifold Euler characteristics and the number of commuting \(m\)-tuples in the symmetric groups”. In: Ann. Comb. 2.1 (1998), pp. 1–6. arXiv: math/9712248. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01626025.

[Dix+85]

L. Dixon, J. A. Harvey, C. Vafa, and E. Witten. “Strings on orbifolds”. In: Nuclear Phys. B 261.4 (1985), pp. 678–686. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(85)90593-0.

[Dix+86]

L. Dixon, J. Harvey, C. Vafa, and E. Witten. “Strings on orbifolds. II”. In: Nuclear Phys. B 274.2 (1986), pp. 285–314. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(86)90287-7.

[FSa]

Carla Farsi and Christopher Seaton. Functional equations for orbifold wreath products. arXiv: 1007.2402.

[FSb]

Carla Farsi and Christopher Seaton. Generalized orbifold Euler characteristics for general orbifolds and wreath products. arXiv: 0902.1198.

[FSc]

Carla Farsi and Christopher Seaton. Generalized twisted sectors of orbifolds. arXiv: 0902.1196.

[GLM]

S. M. Gusein-Zade, I. Luengo, and A. Melle-Hernández. Higher order orbifold Euler characteristics for compact Lie group actions. arXiv: 1405.1237.

[HH90]

Friedrich Hirzebruch and Thomas Höfer. “On the Euler number of an orbifold”. In: Math. Ann. 286.1-3 (1990), pp. 255–260. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01453575.

[Lei08]

Tom Leinster. “The Euler characteristic of a category”. In: Doc. Math. 13 (2008), pp. 21–49. arXiv: math/0610260.

[Tam01]

Hirotaka Tamanoi. “Generalized orbifold Euler characteristic of symmetric products and equivariant Morava \(K\)-theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 1 (2001), 115–141 (electronic). arXiv: math/0103177. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2001.1.115.

[Tam03]

Hirotaka Tamanoi. “Generalized orbifold Euler characteristics of symmetric orbifolds and covering spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 3 (2003), 791–856 (electronic). arXiv: math/0309133. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2003.3.791.