Species

Species とは, Joyal により [Joy81] で導入された概念である。 定義はとても単純で, \(\bm {\Sigma }\) を有限集合と全単射の成す圏としたときに, 単に関手 \[ F : \bm {\Sigma } \longrightarrow \bm {\Sigma } \] として定義される。文献としては, Bergeron と Labelle と Leroux の本 [BLL98] がある。 J. Kock のweb site からも解説の PDF を download できる。

定義は simple であるが, 各種の数え上げの問題で有用な道具らしい。 Li の [Li08] では, prime graph を数え上げるために使われている。 Kontsevich の graph complex の orbifold Euler characteristic に関する公式の証明 [Ger] でも使われている。

これだけ単純なものなので, 変種を定義するのも簡単である。定義域の圏を, morphism が全て同型である small category, つまり groupoid に置き換えることができる。 例えば, 有限体 \(\F _{q}\) 上のベクトル空間と同型の成す groupoid にしたものは \(q\)-species と呼ばれる。

• \(q\)-species

Morrison の [Mor05] は, その解説である。 それによると, \(q\)-species の研究は Goldman と Rota の [GR69; GR70] が起源らしい。

定義域を有限集合と単射の成す圏とし, 関手を contravariant としたものは, Penaguiao の [Pen22] では, combinatorial presheaf と呼ばれている。 Aguiar と Mahajan の [AM10] では species with restriction と呼ばれていて, その用語は Schmitt [Sch93] に依るとされている。 また covariant functor は [Car22] では, restriction species と呼ばれている。 Covariant な場合と区別するために, contravariant な場合は combinatorial presheaf と呼んだ方が良い気がする。

• combinatorial presheaf or species with restriction
• restriction species

定義域を位数 \(r\) の巡回群が作用する有限集合と equivariant bijection の圏 \(\bm {B}_r\) にしたものは, \(r\)-species と呼ばれる。Henderson の [Hen04] では, ある arrangement の complement の De Concini と Procesi による wonderful model への巡回群と対称群の wreath product の作用を調べるために用いられている。 より一般の群 \(G\) の作用する集合を使えば \(G\)-equivariant species の概念を得る。

• \(r\)-species
• \(G\)-equivariant species

また, 値域の圏を変えることもできる。 値域を有限次元ベクトル空間の同型類の成す圏としたものは, vector species と呼ばれる。より一般のベクトル空間にしたものは, Joyal [Joy86] により tensor species と呼ばれている。 Ayadi の [Aya22] のように linear species と呼んだ方がいいと思うが。

• linear species or tensor species

値域を groupoid の圏にしたものは, Blandín と Díaz の [BD07] で考えられている。 彼等は [BD09] では rational species と呼んでいる。

• groupoid species or rational species

Kontsevich と Soibelman [KS00] は, 値域を (colimitで閉じた) symmetric monoidal category にしたものを polynomial functor と呼んでいる。 ただし, この “polynomial functor” という用語は, Eilenberg と Mac Lane による Abelian category の間の non-additive functor に cross-effect に関する条件をつけたものに対しても使われるので, 注意しないといけない。

• polynomial functor

Polynomial functor \(F\) を与えると いうことは, 各\(n\)に対し対称群 \(\Sigma _n\)の作用 をもつ object \(F_n\) を与えることと同じなので, それらを係数とする “polynomial” \[ F(X) = \bigoplus _{n=0}^{\infty } (F_n\otimes X^{\otimes n})/\Sigma _n \] が構成できるからである。Symmetric monoidal category に値を持つ polynomial functor の圏は functor の合成を積として monoidal category になるが, それを用いると operad の定義を簡潔に述べることができる。

• symmetric monoidal category \(\bm {C}\) における operad とは, \(\bm {C}\) に値を持つ polynomial functor の圏の monoid object のことである。

他にも様々なバリエーションが考えられそうである。実際, [DP09] では, categorification という視点から super species とか quantum species とか noncommutative species などが考えられている。その目的は, 組み合せ論の圏論的基礎を, 構築することらしい。 Gambino と Kock の [GK13] では, 更に一般的な category theory の言葉で polynomial functor が定義されている。

また, species に構造を付け加えたものも考えられている。例えば, vector species に積と余積を入れたものは, Aguiar と Mahajan の [AM10] では, Hopf monoid と呼ばれて いる。Aguiar と Mahajan の解説 [AM13] がある。

• Hopf monoid

Aguiar と Bergeron と Thiem [ABT13] は, unitriangular matrix の成す群の上の関数, class function, superclass function などの集合上に Hopf monoid の構造を定義している。

References

[ABT13]

Marcelo Aguiar, Nantel Bergeron, and Nathaniel Thiem. “Hopf monoids from class functions on unitriangular matrices”. In: Algebra Number Theory 7.7 (2013), pp. 1743–1779. arXiv: 1203.1572. url: https://doi.org/10.2140/ant.2013.7.1743.

[AM10]

Marcelo Aguiar and Swapneel Mahajan. Monoidal functors, species and Hopf algebras. Vol. 29. CRM Monograph Series. With forewords by Kenneth Brown and Stephen Chase and André Joyal. Providence, RI: American Mathematical Society, 2010, pp. lii+784. isbn: 978-0-8218-4776-3.

[AM13]

Marcelo Aguiar and Swapneel Mahajan. “Hopf monoids in the category of species”. In: Hopf algebras and tensor categories. Vol. 585. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2013, pp. 17–124. arXiv: 1210.3120. url: https://doi.org/10.1090/conm/585/11665.

[Aya22]

Mohamed Ayadi. “Twisted pre-Lie algebras of finite topological spaces”. In: Comm. Algebra 50.5 (2022), pp. 2115–2138. arXiv: 2105. 01323. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2021.1999461.

[BD07]

Héctor Blandín and Rafael Díaz. “On the combinatorics of hypergeometric functions”. In: Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang) 14.1 (2007), pp. 153–160. arXiv: math/0606346.

[BD09]

Héctor Blandín and Rafael Díaz. “Compositional Bernoulli numbers”. In: Afr. Diaspora J. Math. 7.2 (2009), pp. 119–134. arXiv: 0708.0809.

[BLL98]

F. Bergeron, G. Labelle, and P. Leroux. Combinatorial species and tree-like structures. Vol. 67. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Translated from the 1994 French original by Margaret Readdy, With a foreword by Gian-Carlo Rota. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, pp. xx+457. isbn: 0-521-57323-8.

[Car22]

Louis Carlier. “Hereditary species as monoidal decomposition spaces, comodule bialgebras, and operadic categories”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 8 (2022), pp. 5745–5780. arXiv: 1903.07964. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnaa260.

[DP09]

Rafael Díaz and Eddy Pariguan. “Super, quantum and non-commutative species”. In: Afr. Diaspora J. Math. (N.S.) 8.1 (2009), pp. 90–130. arXiv: math/0509674.

[Ger]

Ferenc Gerlits. The Euler characteristic of graph complexes via Feynman diagrams. arXiv: math/0412094.

[GK13]

Nicola Gambino and Joachim Kock. “Polynomial functors and polynomial monads”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 154.1 (2013), pp. 153–192. arXiv: 0906. 4931. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004112000394.

[GR69]

Jay Goldman and Gian-Carlo Rota. “The number of subspaces of a vector space”. In: Recent Progress in Combinatorics (Proc. Third Waterloo Conf. on Combinatorics, 1968). Academic Press, New York, 1969, pp. 75–83.

[GR70]

Jay Goldman and Gian-Carlo Rota. “On the foundations of combinatorial theory. IV. Finite vector spaces and Eulerian generating functions”. In: Studies in Appl. Math. 49 (1970), pp. 239–258.

[Hen04]

Anthony Henderson. “Representations of wreath products on cohomology of De Concini-Procesi compactifications”. In: Int. Math. Res. Not. 20 (2004), pp. 983–1021. arXiv: math/0307383. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792804132510.

[Joy81]

André Joyal. “Une théorie combinatoire des séries formelles”. In: Adv. in Math. 42.1 (1981), pp. 1–82. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(81)90052-9.

[Joy86]

André Joyal. “Foncteurs analytiques et espèces de structures”. In: Combinatoire énumérative (Montreal, Que., 1985/Quebec, Que., 1985). Vol. 1234. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1986, pp. 126–159. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0072514.

[KS00]

Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. “Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture”. In: Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon). Vol. 21. Math. Phys. Stud. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000, pp. 255–307. arXiv: math/0001151.

[Li08]

Ji Li. “Prime graphs and exponential composition of species”. In: J. Combin. Theory Ser. A 115.8 (2008), pp. 1374–1401. arXiv: 0705. 0038. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2008.02.008.

[Mor05]

Kent E. Morrison. “An introduction to \(q\)-species”. In: Electron. J. Combin. 12 (2005), Research Paper 62, 15 pp. (electronic). arXiv: math/0512052. url: http://www.combinatorics.org/Volume_12/Abstracts/v12i1r62.html.

[Pen22]

Raul Penaguiao. “Pattern Hopf algebras”. In: Ann. Comb. 26.2 (2022), pp. 405–451. arXiv: 2001.09800. url: https://doi.org/10.1007/s00026-022-00578-3.

[Sch93]

William R. Schmitt. “Hopf algebras of combinatorial structures”. In: Canad. J. Math. 45.2 (1993), pp. 412–428. url: http://dx.doi.org/10.4153/CJM-1993-021-5.