KdV及びKP方程式

KdV方程式 \[ u_t + 6uu_x + u_{xxx} = 0 \] はKortewegとde Vriesにより, 浅い水路を伝搬するsolitary waveを記述する方 程式として導入された。\(u=u(x,t)\)は時刻\(t\)における, 実軸上の点\(x\)での波 の高さを表わす。

これを\(2\)次元化, つまり狭い水路ではなく広い水面上 (実際にはplasma physics) で考えたのがKadomtsevとPetriashviliiであり \[ 3u_{yy} = \frac{\partial }{\partial x}(4u_t-u_{xxx}-6uu_x) \] という方程式を導いた。これはKP方程式と呼ばれる。

これらの方程式の解の中に theta 関数で記述されるものがあることが分かり, その線で研究が進んだのが1970年 代である。

同じく’70年代にLaxがpseudodifferential operatorを用いた別の定式化を発見 した。それをみるとKdV方程式が一連の方程式系の中の一つにすぎないというこ とが分かった。その方程式系をKdV hierarchyという。その\(r\)番目の方程式は \[ L_t = [(L^{\frac{r}{2}})_+, L] \] である。KP方程式に対してもKP hierarchyと呼ばれるpseudodifferential operatorの方程式系がある。

更に, KdV hierarchyはGel\('\)fand-Dickey hierarchyと呼ばれる方程式系の列 の最初のものなのである。

• Kdv hierarchy
• KP hierarchy
• \(r\ge 2\)に対し, \(r\)番目のGel\('\)fand-Dickey hierarchy

KdV (KP) hierarchyは, 思いがけないところに顔を出す。それについては Arbarelloの解説[Arb02]がよい。KdV方程式の歴史から解説してあ る。

KdV hierarchyが関係したことの例としては, ループ群との関連はSegal とWilsonの論文[SW85]にあるし, Sato Grassmannianとして \(\mathrm{BU}\)の構成にも関連する。

• Sato Grassmannian

より新しい話題 (といっても90年代初頭だが) としては, 代数曲線のmoduliと の関係がある。Wittenは[Wit91]で stable algebraic curveのmoduli spaceの tautological cohomology classの intersection numberのgenerating functionがKdV hierarchyをみたすことを予想したが, それはKontsevich [Kon92]により証明された。Fiorenzaの[Fio]で はFeynman diagramを用いて証明している。このことについては, Mulaseと Safnukの[MS]も見るとよい。

以上のことを, \(r>2\)のGel\('\)fand-Dickey hierarchyに一般化するためには, \(r\)-spin curveというものを考える必要がある。このgeneralized Witten予想 については, Jarvisとそのcoworkerの[Jar00; JKV01; JKV00]で研究されている。特に, JarvisとKimura とVaintrobの[JKV00]では, Gromov-Witten invariantと Gel\('\)fand-Dickey hierarchyのanalogyについて考えている点で興 味深い。

KodamaとWilliams [KW11; KW14]によると, cluster algebraや total positivityとも関係がある。

KdV hierarchyのquantizationについては, FeignとFrenkelの[FF] がある。どうやらLanglands dualなどに関係 しているようである。

Chmutov, Kazarian, Lando [CKL] は chromatic symmetric function の generating function が KP hierarchy をみたすことを示している。 他のグラフの多項式不変量についても調べて いる。

Knot polynomial との関係は, Mironov, Mironov, Mishnyakov, Morozov, Sleptsov の [Mir+]で調べられている。

References

[Arb02]

Enrico Arbarello. “Sketches of KdV”. In: Symposium in Honor of C. H. Clemens (Salt Lake City, UT, 2000). Vol. 312. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 9–69. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/312/05391.

[CKL]

Sergei Chmutov, Maxim Kazarian, and Sergey Lando. Polynomial graph invariants and the KP hierarchy. arXiv: 1803.09800.

[FF]

Boris Feigin and Edward Frenkel. Quantization of soliton systems and Langlands duality. arXiv: 0705.2486.

[Fio]

Domenico Fiorenza. Feynman diagrams and the KdV hierarchy. arXiv: math/0111097.

[Jar00]

Tyler J. Jarvis. “Geometry of the moduli of higher spin curves”. In: Internat. J. Math. 11.5 (2000), pp. 637–663. arXiv: math/9809138. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X00000325.

[JKV00]

Tyler J. Jarvis, Takashi Kimura, and Arkady Vaintrob. “Tensor products of Frobenius manifolds and moduli spaces of higher spin curves”. In: Conférence Moshé Flato 1999, Vol. II (Dijon). Vol. 22. Math. Phys. Stud. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000, pp. 145–166. arXiv: math/9911029.

[JKV01]

Tyler J. Jarvis, Takashi Kimura, and Arkady Vaintrob. “Moduli spaces of higher spin curves and integrable hierarchies”. In: Compositio Math. 126.2 (2001), pp. 157–212. arXiv: math/9905034. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1017528003622.

[Kon92]

Maxim Kontsevich. “Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function”. In: Comm. Math. Phys. 147.1 (1992), pp. 1–23. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104250524.

[KW11]

Yuji Kodama and Lauren K. Williams. “KP solitons, total positivity, and cluster algebras”. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA 108.22 (2011), pp. 8984–8989. arXiv: 1105.4170. url: https://doi.org/10.1073/pnas.1102627108.

[KW14]

Yuji Kodama and Lauren Williams. “KP solitons and total positivity for the Grassmannian”. In: Invent. Math. 198.3 (2014), pp. 637–699. arXiv: 1106.0023. url: https://doi.org/10.1007/s00222-014-0506-3.

[Mir+]

A. Mironov, S. Mironov, V. Mishnyakov, A. Morozov, and A. Sleptsov. Colored Alexander polynomials and KP hierarchy. arXiv: 1805.02761.

[MS]

Motohico Mulase and Brad Safnuk. Mirzakhani’s recursion relations, Virasoro constraints and the KdV hierarchy. arXiv: math/0601194.

[SW85]

Graeme Segal and George Wilson. “Loop groups and equations of KdV type”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 61 (1985), pp. 5–65. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1985__61__5_0.

[Wit91]

Edward Witten. “Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space”. In: Surveys in differential geometry (Cambridge, MA, 1990). Bethlehem, PA: Lehigh Univ., 1991, pp. 243–310.