Moduli Spaces of Genus 0 Curves and Riemann Surfaces

代数曲線の moduli space は, 種数の \(0\) の場合, 特にその Deligne-Mumford compactification [DM69] は, かなりよく研究されている。

種数 \(0\) の \(n\) 点のマークを持つ代数曲線の moduli space の Deligne-Mumford compactification \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}\) について, トポロジーの視点から目についたことを挙げると, 以下のようになる。

• その complex point \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\bbC )\) の singular cohomology の計算と Chow ring と同型になること (Keel [Kee92])
• その real point \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R )\) が \(K(\pi ,1)\) であることと, その基本群 ( pure cactus group と呼ばれる) の決定 (Davis と Januszkiewicz と Scott [DJS03])
• \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R )\) の胞体分割 (Kapranov [Kap93] と Devadoss [Dev99])
• \(\{\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R )\}_n\) が operad (mosaic operad と呼ばれる) になること (Devadoss [Dev99])
• \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R )\) の rational cohomology (Etingof と Henriques と Kamnitzer と Rains [Eti+10])
• \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R )\) の modulo \(2\)-torsion homology (Rains の [Rai10])

\(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R )\) が \(\bbC \) 内の \(n-1\) 個の点の configuration space と良く似ていることは, 何人もの人が指摘している。例えば, Devadoss [Dev99], Morava [Mor], Henriques と Kamnitzer [HK06], Etingof と Henriques と Kamnitzer と Rains [Eti+10] など。Armstrong らの [Arm+09] によると, 最初に braid arrangement との関係に気が付いたのは, Kapranov [Kap93] らしい。

Rains の [Rai10] は, De Concini と Procesi の subspace arrangement の complement の wonderful model を用いている点で興味深い。

この analogy の下で, \(\Gamma _n = \pi _1(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}(\R ))\) は, pure braid group に対応するため, pure cactus group と呼ばれる。もちろん braid group に対応する cactus group \(J_n\) という群もあり, 短完全列 \[ 1 \longrightarrow \Gamma _n \longrightarrow J_n \longrightarrow \Sigma _n \longrightarrow 1 \] もある。

Henriques [Hen] は, cactus group の Fock と Goncharov が [FG06] で定義した空間への作用を定義している。

Devadoss と Morava [DM] は, 対称行列の成す空間との関係を考え, 対称行列の成す空間の blow-up を構成している。

\(\cM _{0,n}\) の一般化としては, Arkani-Hamed と He と Lam [AHL21] の Dynkin diagram \(D\) から定義される cluster configration space \(\cM _{D}\) もある。\(D=A_{n-3}\) のとき \(\cM _{D}=\cM _{0,n}\) となる。 Cluster algebra との関係から cluster configuration space と呼ばれているようである。

• cluster configuration space

種数 \(0\) の曲線の moduli space の構成としては, Losev と Manin [LM00] による \(\overline {\cL }_{n}\) もある。 Clader らの [Cla+23a] によると, \(\overline {\cM }_{0,n}\) は toric variety に近い性質を持つようであるが, Losev-Manin moduli space は toric variety になる。Toric variety と言えば 凸多面体であるが, Losev-Manin moduli space に対応した多面体は permutohedron である。

• Losev-Manin moduli space

Batyrev と Blume [BB11b; BB11a] は, root system に対応した moduli space の構成を導入しているが, \(A\)型の場合が Losev と Manin の moduli space に なっているので, Losev-Manin moduli space の一般化になっている。 Batyrev と Blume の moduli space も toric variety になっていて, 対応する多面体は, Coxeter permutohedron である。

• Batyrev-Blume moduli space

Batyrev-Blume moduli space は, \(B\)型の場合, involution を持つ genus \(0\) curve の moduli space になっているが, Clader ら [Cla+23a] は, 一般の巡回群の作用への拡張である。 それは, toric variety にはなっていないようであるが, permutohedron を貼り合せた permutohedral complex を構成することができるようである。

彼等は [Cla+23b] では, wonderful compactification として実現できることを示している。

また, Eur と共に [Cla+24] で multimatroid との関係を調べている。

References

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[Arm+09]

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[BB11a]

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[Cla+23a]

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Emily Clader, Chiara Damiolini, Christopher Eur, Daoji Huang, and Shiyue Li. “Multimatroids and rational curves with cyclic action”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 12 (2024), pp. 9743–9777. arXiv: 2311.09314. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnae069.

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[LM00]

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[Mor]

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[Rai10]

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