zeta関数とその類似

zeta関数は様々なところに登場する。

Cartier の [Car01] によると, 多変数のzeta関数からつくられる group scheme やその Lie環数理物理の問題との関係を発見したのは Connes [CK98] と Kontsevich (deformation quantization との関係) らしい。

zeta関数の一般化もいろいろある。

有限体上の代数多様体 (scheme) の zeta関数は, もちろん, Weil予想で中心的役割を果すものである。Grothendieck による étale cohomology の導入と Deligne の仕事 [Del74; Del80] により Weil 予想は証明されたが, 有限体上の scheme の zeta 関数は, 他にも様々なものと関係していて興味深い。 Ramachandran の [Ram] は, \(\Z \) の Witt ring \(W(\Z )\) と関連づけようとしているが, その motivation について述べた序文が興味深い。

これらの話題と, \(\F _1\) 上の代数幾何学tropical geometry, そして, 安定ホモトピー論などとの関係については, Connes の essay [Con16] に書かれている。

Multiple zeta value と quasisymmetric function の成す Hopf algebra との関係については, Hoffman の [Hof05] で調べられている。

力学系の zeta関数と数論に登場する zeta関数との関係 (類似) については, Deninger [Den98; Den01] により色々調べられている。 [Den] に「辞書」がある。

Majid と Tomasic [MT] は, braided monoidal category の object の braided dimension を用いて, \(q\)-deformed algebra の zeta関数を定義することを提案している。その元になっているのは, Kapranov [Kap] の symmetric product を用いたもののようであるが。

その手のもので, algebraic variety の Grothendieck ring \(K_0(\category{Var}/k)\) に値を持つ motivic zeta function と呼ばれるものがある。Denef と Loeser の [DL98] やKapranov の [Kap] など。

  • motivic zeta function

Galkin と Shnider [GS] は, pretriangulated dg category の motivic zeta function を定義し, それと algebraic variety の motivic zeta function の関係を調べている。

Kassel と Reutenauer [KR] は, Kontsevich の [Kon] に触発されて, noncommutative Laurent series に係数を持 つ行列の zeta関数を定義している。

References

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Pierre Cartier. “A mad day’s work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry [in Les relations entre les mathématiques et la physique théorique, 23–42, Inst. Hautes Études Sci., Bures-sur-Yvette, 1998; MR1667896 (2000c:01028)]”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 38.4 (2001). Translated from the French by Roger Cooke, 389–408 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-01-00913-2.

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