位相空間のK理論の基本

位相空間の \(K\)理論について学ぶには, 何を読むのがよいのだろうか。まずは Olsen と Szabo の [OS99] の §2 を見てみるのもよいかもしれない。 簡潔にまとめられているので。 主題は D-brane charge と \(K\)-theory の関係であるが。 もっとも, \(D\)-brane charge は \(K\)-homology の元として考えるのが良いようである。

有名なのは, Atiyah の本 [Ati67] や Karoubi の本 [Kar78] である。最近書かれたものでは, Dugger の [Dug] がある。まだ未完成らしいが。 Atiyah の本は, 日本語訳もある。

\(K\)理論について学ぶためには, まずその構成法を知る必要がある。 Atiyah と Hirzebruch [AH59] により \(K\)理論がトポロジーに導入されて以降, トポロジーでは様々な \(K\)理論の構成方法が発見されてきた。

  • ベクトル束の同型類の成す Abelian monoidgroup completion
  • Compact Hausdorff space \(X\) の \(C^*\)環 \(C(X)\) 上の有限生成 projective module の成す Abelian monoid の group completion
  • ホモトピー集合 \([X,\mathrm {BU}\times \Z ]\) もしく は \([X,\mathrm {BO}\times \Z ]\)
  • 無限次元の separable Hilbert space \(H\) の上の Fredholm operator の成す空間 \(\mathrm {Fred}(H)\) を用いて, ホモトピー集合 \([X,\mathrm {Fred}(H)]\) と考える。 [Jän65; Ati67]
  • 位相空間対 \((X,A)\) に対し, \(X\) 上のベクトル束 \(\xi _1\) と \(\xi _2\), そして, これらの \(A\) 上の同型 \(\alpha \) を用いた relative \(K\)-theory \(K(X,A)\)
  • ベクトル束の chain complex による \(K(X,A)\) の定義
  • 代数的\(K\)理論を用いた定義 (Michael Paluch の thesis [Pal91])

コンパクト Hausdorff 空間では, これらの構成は同じ群を与える。しかしながら, コンパクトでない場合には一般には違うものになる。例えば, 1番目と3番目の定義の違いについては, この MathOverflow の質問で議論されている。

代数的トポロジーにとって重要な事実は, \(K\)理論がコホモロジー論になるということである。 そのためには, Bott の周期性が必要である。

  • Bott 周期性
  • Bott の周期性を用いてコホモロジー論 \(K^*(X)\) と \(\mathrm {KO}^*(X)\) を定義すること
  • \(K^*(X)\) と \(\mathrm {KO}^*(X)\) が可換な積を持つコホモロジー論になること

\(K^0(X)\) が bounded Fredholm operator の空間へのホモトピー集合として表現されることの類似で, \(K^1(X)\) を 作用素の空間へのホモトピーとして表現することもできる。Atiyah-Singer の [AS69] や [DK10] など。

位相空間の \(K\)-theory を調べる際には, Atiyah-Hirzebruch spectral sequence は基本的である。

Chromatic な視点からは, 素数 \(p\) に対し mod \(p\) \(K\)理論は Morava \(K\)-theory という一連のコホモロジー論の中の一つとみなすべきである。 このことに関しては次のことを知っておくとよい。 最初二つの分解に現われる成分を Adams summand という。

  • 素数 \(p\) に対し \(K^*(X)_{(p)}\) の \(p-1\) 個の同型な成分への natural な分解 [Ada69]
  • 素数 \(p\) に対し \(K^*(X;\Z /p\Z )\) の \(p-1\) 個の \(K(1)^*(X)\) への natural な分解 [Ada69]
  • Morava \(K\)理論

\(K\)理論に関連の深い概念として, 特性類, 特に Chern class がある。

\(K\)-theory は, コホモロジー論として, spectrum で表現されるが, そのspectrum の構成には様々な方法がある。Hohnhold と Stolz と Teichner の [HST10] では, Bott periodicity に 現れる古典群を用いた空間列 も含め8つの方法が述べられている。Wang の [Wan] では, Segal の [Seg74] に書かれている例に基づく chain complex から作る方法が使われている。

これらは, 古典的な無限ループ空間列として \(K\)-theory spectrum を表現する空間列であるが, もちろん, 近代的な spectrum としての構成もある。

  • Joachim による \(\mathrm {KO}\) を表現する symmetric spectrum の構成 [Joa01]
  • Gaudens と Markert [GM] による connective \(K\)-theory を表現する spectrum の \(\Z /2\Z \)-equivariant symmetric ring spectrum としての構成

また以下のような性質が分かっている。

  • \(K\)や\(\mathrm {KO}\) を表現する spectrum の \(E_{\infty }\) 構造の一意性 (Baker と Richter の[BR05])
  • \(\mathrm {ku}\) や \(\mathrm {ko}\) を表現する spectrum の \(E_{\infty }\)構造の一意性 (Baker と Richter の [BR08])

References

[Ada69]

J. F. Adams. “Lectures on generalised cohomology”. In: Category Theory, Homology Theory and their Applications, III (Battelle Institute Conference, Seattle, Wash., 1968, Vol. Three). Berlin: Springer, 1969, pp. 1–138.

[AH59]

M. F. Atiyah and F. Hirzebruch. “Riemann-Roch theorems for differentiable manifolds”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 65 (1959), pp. 276–281. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1959-10344-X.

[AS69]

M. F. Atiyah and I. M. Singer. “Index theory for skew-adjoint Fredholm operators”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 37 (1969), pp. 5–26. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1969__37__5_0.

[Ati67]

M. F. Atiyah. \(K\)-theory. Lecture notes by D. W. Anderson. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1967, p. v 166 xlix.

[BR05]

Andrew Baker and Birgit Richter. “On the \(\Gamma \)-cohomology of rings of numerical polynomials and \(E_{\infty }\) structures on \(K\)-theory”. In: Comment. Math. Helv. 80.4 (2005), pp. 691–723. arXiv: math/0304473. url: http://dx.doi.org/10.4171/CMH/31.

[BR08]

Andrew Baker and Birgit Richter. “Uniqueness of \(E_{\infty }\) structures for connective covers”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 136.2 (2008), 707–714 (electronic). arXiv: math/0506422. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-07-08984-8.

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[Dug]

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[GM]

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[HST10]

Henning Hohnhold, Stephan Stolz, and Peter Teichner. “From minimal geodesics to supersymmetric field theories”. In: A celebration of the mathematical legacy of Raoul Bott. Vol. 50. CRM Proc. Lecture Notes. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010, pp. 207–274.

[Jän65]

Klaus Jänich. “Vektorraumbündel und der Raum der Fredholm-Operatoren”. In: Math. Ann. 161 (1965), pp. 129–142. url: https://doi.org/10.1007/BF01360851.

[Joa01]

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[Kar78]

Max Karoubi. \(K\)-theory. An introduction, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 226. Berlin: Springer-Verlag, 1978, pp. xviii+308. isbn: 3-540-08090-2.

[OS99]

Kasper Olsen and Richard J. Szabo. “Constructing D-branes from \(K\)-theory”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 3.4 (1999), pp. 889–1025. arXiv: hep-th/9907140. url: https://doi.org/10.4310/ATMP.1999.v3.n4.a5.

[Pal91]

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[Seg74]

Graeme Segal. “Categories and cohomology theories”. In: Topology 13 (1974), pp. 293–312. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(74)90022-6.

[Wan]

Yi-Sheng Wang. Simplicial Waldhausen categories and topological \(K\)-theory. arXiv: 1705.05192.

[Yau06]

Donald Yau. “On \(\lambda \)-rings and topological realization”. In: Int. J. Math. Math. Sci. (2006), Art. ID 91267, 21. arXiv: math/0501515. url: https://doi.org/10.1155/IJMMS/2006/91267.