Orbifoldのトポロジーと幾何学

Orbifold は, [Sat57] において \(V\)-manifold として導入された。 局所的にEuclid空間を有限群の作用で割ったようなもののことである。

Bahri ら [Bah+10] によると, orbifold と名付けたのは William Browder らしい。

90年代から(?) 数理物理で使われるようになり, かなり popular な幾何学的対象となってきたようである。現代的な解説としてはRuanの [Rua02a]や[Rua02b], そしてde Fernex, Lupercio, Nevins, Uribe の [Fer+] がよい。[Rua02b] は, orbifold についての conference の proceedings [AMR02] に含まれているものである。 このproceedings 自体, 重要な文献である。[BCR06]は, 物理学者や幾何学者向けと書いてあるが, 一般的な解説としてもよく書けている。 Lupercio と Uribe の [LU] は, 物理学者と幾何学者向けと断ってあるが, topological quantum field theory との関係まで含めて簡潔に書いてあり, 一般向けのよい解説であると思う。今なら, Adem と Leida と Ruan の本 [ALR07] があるので, それで勉強するのがよいと思う。

「群の作用で割る」という操作を見直すことは, 多様体だけでなく 組み合せ論など, 他の分野でも行なわれている。 その際, orbifold のアイデアがかなり影響しているようである。例えば, Blandin と Díaz の [BD] など。

代数的トポロジーの研究対象としては, (コ)ホモロジーや homotopy type を考えたくなる。

具体的に orbifold が登場する場面としては, 以下のようなものがある:

  • symplectic reduction からは, orbifold が得られることが多い。
  • Calabi-Yau \(3\)-fold は, Calabi-Yau orbifold の crepant resolution になっていることが多い。
  • terminal singularity を持つ algebraic \(3\)-fold は symplectic orbifold に deform できる。
  • McKay correspondence [Rei; BKR01] とその一般化 (McKay-Reid correspondece [Rei02], McKay-Ruan correspondence [Rua02a; Yas; LP], twisted categorical McKay correspondence [BP07])

McKay correspondence に関しては, Kirillov, Jr. の解説 [Kir06] がある。

代数幾何学などでは, orbifold に対応するものとして, stack を考えるのがよいようである。 Abramovich の [Abr08] では, orbifold と stack を同じものとして扱っている。 Lerman の [Ler] にあるように, 微分幾何の文脈でも stack の言葉を使った方がよいらしい。確かに, orbifold を \(2\)-category の object とみなすべきという主張は納得できる。

このように, stack を使った定式化を考えると自然に 高次の圏を使わざるを得なくなる。 代数幾何学の文脈では, 様々な人により様々な方向で higher stack の理論が 構築されている。Higher orbifoldといえるものとしては, Carchedi の [Cara] がある。

Carchedi はそのような higher orbifold に対し, その weak homotopy type を定義する方法を [Carb]で考えている。ここでいうweak homotopy type とは \(\infty \)-groupoid のことである。

特異点を持つ多様体とみなしたとき, orbifoldは特異点の種類がかなり限定さ れたものであるが, その特異点に対する制限を少し緩めた branchfold というものを考えている人 [PT] もいる。 有限群を離散群に一般化した quasifold というものを考えている人 [Pra] もいる。

量子群を元にした quantum orbifold というものも考えられている。Harju の [Har] など。

References

[Abr08]

D. Abramovich. “Lectures on Gromov-Witten invariants of orbifolds”. In: Enumerative invariants in algebraic geometry and string theory. Vol. 1947. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2008, pp. 1–48. arXiv: math/0512372. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-79814-9_1.

[ALR07]

Alejandro Adem, Johann Leida, and Yongbin Ruan. Orbifolds and stringy topology. Vol. 171. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2007, p. xii 149. isbn: 978-0-521-87004-7; 0-521-87004-6.

[AMR02]

Alejandro Adem, Jack Morava, and Yongbin Ruan, eds. Orbifolds in mathematics and physics. Vol. 310. Contemporary Mathematics. Providence, RI: American Mathematical Society, 2002, p. viii 358. isbn: 0-8218-2990-4.

[Bah+10]

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[BCR06]

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[BD]

Héctor Blandı́n and Rafael Dı́az. Polya Theory for Orbiquotient Sets. arXiv: math/0506630.

[BKR01]

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[BP07]

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[Cara]

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[Carb]

David Carchedi. On The Homotopy Type of Higher Orbifolds and Haefliger Classifying Spaces. arXiv: 1504.02394.

[Fer+]

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[Har]

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[Kir06]

Alexander Kirillov Jr. “McKay correspondence and equivariant sheaves on \(\mathbb{P}^1\)”. In: Mosc. Math. J. 6.3 (2006), pp. 505–529, 587–588. arXiv: math/0603359.

[Ler]

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[LP]

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[PT]

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[Rei]

Miles Reid. McKay correspondence. arXiv: alg-geom/9702016.

[Rei02]

Miles Reid. “La correspondance de McKay”. In: Astérisque 276 (2002). Séminaire Bourbaki, Vol. 1999/2000, pp. 53–72. arXiv: math/9911165.

[Rua02a]

Yongbin Ruan. “Stringy geometry and topology of orbifolds”. In: Symposium in Honor of C. H. Clemens (Salt Lake City, UT, 2000). Vol. 312. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 187–233. arXiv: math/0011149. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/312/05384.

[Rua02b]

Yongbin Ruan. “Stringy orbifolds”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 259–299. arXiv: math/0201123. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/310/05408.

[Sat57]

Ichirô Satake. “The Gauss-Bonnet theorem for \(V\)-manifolds”. In: J. Math. Soc. Japan 9 (1957), pp. 464–492.

[Yas]

Takehiko Yasuda. Twisted jets, motivic measure and orbifold cohomology. arXiv: math/0110228.