Operad に関連した概念

複雑な構造を記述するために, operad 以前にも様々な試みがあった。例えば次のようなものである。

• PROP
• PACT

PROP と PACT は, Mac Lane [Mac63] により導入された概念である。

これらについては, Adams の無限ループ空間に関する本 [Ada78] に解説がある。Markl の [Mar08] も見るとよい。

PROP に関連したものとして bialgebra があるが, Saneblidze と Umble は, [SU11] で bialgebra の homotopy version を考える際に matron という概念を導入している。その後, matrad という名前に変えている。

• matron あるいは matrad

彼等は, associahedron から始まる 多面体の列を構成し, matrad の中で中心的な役割のものが, その cellular chain complex と同型であることを示している。

Vallette が PROP の Kozsul duality について [Val03; Val07] で調べているが, その中で, PROP の本質的な部分を取り出した properad という概念を導入している。

他にも Kozsul duality の文脈で, \(\frac{1}{2}\)PROP や dioperad [Gan] という概念が考えられている。\(\frac{1}{2}\)PROP は Kontsevich によるものらしいが, その定義等は Markl の [Mar08] を見るのがいいだろう。

• properad
• \(\frac{1}{2}\)PROP
• dioperad

これらの関係については, Markl の [Mar08] や Vallette の [Val07] によると以下の通り:

• operad は \(\frac{1}{2}\)PROP
• \(\frac{1}{2}\)PROP は dioperad
• dioperad は properad
• PROP の圏から properad の圏への forgetful functor は left adjoint を持つ。つまり properad からは PROP が生成される。

Poisson manifold の formal germ に star product が存在するという Kontsevich の定理の別証 [Mer] など, 幾何学的問題にも使われている。

Donald Yau は [Yau] で operadic collection という, enriched operad, properad, prop, wheeled operad, wheeled prop などの構造をすべて含む概念を導入し, その上の algebra のホモトピー論を展開している。

• operadic collection

PROP と同時期に生れた概念として, theory (algebraic theory) というものがある。

• algebraic theory と関連した概念

Operad の双対である cooperad という概念もある。例えば, Berger と Moerdijk の [BM03] など。

• cooperad

Hortsch, Kriz, Pultr の [HKP] では, vertex algebra を定義するのに使われている。

群の作用を持つ場合については, Bonventre と Pereira の [BPa] の Introduction をみるとよい。

• equivariant operad

Bonventre と Pereira は, [BPb] で, その equivariant operad の文脈で complete Segal space や Segal category の類似を定義している。

Operad を一般化した概念としては, 他に multicategory や colored operad と呼ばれているものがある。

• multicategory

Small category の nerve は simplicial set となるが, multicategory での対応する構成からは, dendroidal set ができる。

• dendroidal set

Algebraic theory や multicategory などを統一して扱うための枠組みとして, Cruttwell と Shulman [CS] は double category 上の monad を使うことを提案している。

これらを全て含む構造として, Kaufmann と Ward [KW17] は, Feynman category というものを提案している。Kaufmann による lecture note [Kau18] がある。

• Feynman category

その後 Kaufmann と Lucas [KL17] は decorated Feynman category を導入している。

同様の “operad-like structure” として, Batanin と Markl の [BM15] では, polynomial monad , moment category, operator category [Bar18] といったものが挙げられている。 また Batanin と Markl らも新たに operadic category という構造を導入している。

• operadic category

Batanin と Berger [BB] は, cyclic operad, modular operad, properad, prop などの様々な operad の一般化が polynomial monad 上の algebra として表せることを示している。

Forcey と Siehler と Sowers は, [FSS] で operad を定義する圏の symmetric monoidal という条件を一般化する ことを考えている。彼等は, 複数の“tensor product”を持つ iterated monoidal category を考えている。

近年の higher category theory の普及, 特に \((\infty ,1)\)-category の人気により, operad の高次化も色々調べられている。

• higher operads

Horel [Hor] は, operad の profinite completion を考える際に, profinite completion と直積の相性が良くないことから, operad の定義を Segal流に弱めたものを weak operad と言って用いている。

• weak operad

Operad の構造の一部を持つものも考えられている。Weissの [Wei] では, \(k\)個までの入力しか持たない \(k\)-truncated operad というものが調べられている。

• \(k\)-truncated operad

Umbral calculus に現れる操作と関連して monop という構成が Méndez と Sánchez [MS] により導入されている。

• monop

References

[Ada78]

John Frank Adams. Infinite loop spaces. Vol. 90. Annals of Mathematics Studies. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1978, p. x 214. isbn: 0-691-08207-3; 0-691-08206-5.

[Bar18]

Clark Barwick. “From operator categories to higher operads”. In: Geom. Topol. 22.4 (2018), pp. 1893–1959. arXiv: 1302.5756. url: https://doi.org/10.2140/gt.2018.22.1893.

[BB]

Michael Batanin and Clemens Berger. Homotopy theory for algebras over polynomial monads. arXiv: 1305.0086.

[BM03]

Clemens Berger and Ieke Moerdijk. “Axiomatic homotopy theory for operads”. In: Comment. Math. Helv. 78.4 (2003), pp. 805–831. arXiv: math/0206094. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00014-003-0772-y.

[BM15]

Michael Batanin and Martin Markl. “Operadic categories and duoidal Deligne’s conjecture”. In: Adv. Math. 285 (2015), pp. 1630–1687. arXiv: 1404.3886. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.07.008.

[BPa]

Peter Bonventre and Luis A. Pereira. Genuine equivariant operads. arXiv: 1707.02226.

[BPb]

Peter Bonventre and Luis Alexandre Pereira. Equivariant dendroidal Segal spaces and \(G\)-\(\infty \)-operads. arXiv: 1801.02110.

[CS]

G. S. H. Cruttwell and Michael A. Shulman. A unified framework for generalized multicategories. arXiv: 0907.2460.

[FSS]

S. Forcey, J. Siehler, and E. Seth Sowers. Combinatorial \(n\)-fold monoidal categories and \(n\)-fold operads. arXiv: math/0411561.

[Gan]

Wee Liang Gan. Koszul duality for dioperads. arXiv: math/0201074.

[HKP]

Ruthi Hortsch, Igor Kriz, and Ales Pultr. A Universal Approach to Vertex Algebras. arXiv: 1006.0027.

[Hor]

Geoffroy Horel. Profinite completion of operads and the Grothendieck-Teichmüller group. arXiv: 1504.01605.

[Kau18]

Ralph M. Kaufmann. “Lectures on Feynman categories”. In: 2016 MATRIX annals. Vol. 1. MATRIX Book Ser. Springer, Cham, 2018, pp. 375–438. arXiv: 1702.06843.

[KL17]

Ralph Kaufmann and Jason Lucas. “Decorated Feynman categories”. In: J. Noncommut. Geom. 11.4 (2017), pp. 1437–1464. arXiv: 1602.00823. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/11-4-8.

[KW17]

Ralph M. Kaufmann and Benjamin C. Ward. “Feynman categories”. In: Astérisque 387 (2017), pp. vii+161. arXiv: 1312.1269.

[Mac63]

Saunders Mac Lane. “Natural associativity and commutativity”. In: Rice Univ. Studies 49.4 (1963), pp. 28–46.

[Mar08]

Martin Markl. “Operads and PROPs”. In: Handbook of algebra. Vol. 5. Vol. 5. Handb. Algebr. Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2008, pp. 87–140. arXiv: math/0601129. url: http://dx.doi.org/10.1016/S1570-7954(07)05002-4.

[Mer]

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[MS]

Miguel Méndez and Rafael Sánchez. On the combinatorics of Riordan arrays and Sheffer polynomials: monoids, operads and monops. arXiv: 1707.00336.

[SU11]

Samson Saneblidze and Ronald Umble. “Matrads, biassociahedra, and \(A_{\infty }\)-bialgebras”. In: Homology Homotopy Appl. 13.1 (2011), pp. 1–57. arXiv: math/0508017. url: http://dx.doi.org/10.4310/HHA.2011.v13.n1.a1.

[Val03]

Bruno Vallette. Dualité de Koszul des PROPs. Prépublication de l’Institut de Recherche Mathématique Avancée [Prepublication of the Institute of Advanced Mathematical Research], 2003/30. Dissertation, Université de Strasbourg I, Strasbourg, 2003. Strasbourg: Université Louis Pasteur Département de Mathématique Institut de Recherche Mathématique Avancée, 2003, p. 124. arXiv: math/0405057.

[Val07]

Bruno Vallette. “A Koszul duality for PROPs”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.10 (2007), pp. 4865–4943. arXiv: math/0411542. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04182-7.

[Wei]

Michael S. Weiss. Truncated operads and simplicial spaces. arXiv: 1503.06977.

[Yau]

Donald Yau. Dwyer-Kan Homotopy Theory of Algebras over Operadic Collections. arXiv: 1608.01867.