複雑な構造を記述するために, operad 以前にも様々な試みがあった。例えば次のようなものである。
PROP と PACT は, Mac Lane [Mac63] により導入された概念である。
これらについては, Adams の無限ループ空間に関する本 [Ada78] に解説がある。Markl の [Mar08]
も見るとよい。
PROP に関連したものとして bialgebra があるが, Saneblidze と Umble は, [SU11] で bialgebra の
homotopy version を考える際に matron という概念を導入している。その後, matrad という名前に変えている。
彼等は, associahedron から始まる 多面体の列を構成し, matrad の中で中心的な役割のものが, その cellular chain
complex と同型であることを示している。
Vallette が PROP の Kozsul duality について [Val03; Val07] で調べているが, その中で, PROP
の本質的な部分を取り出した properad という概念を導入している。
他にも Kozsul duality の文脈で, \(\frac{1}{2}\)PROP や dioperad [Gan] という概念が考えられている。\(\frac{1}{2}\)PROP は
Kontsevich によるものらしいが, その定義等は Markl の [Mar08] を見るのがいいだろう。
- properad
- \(\frac{1}{2}\)PROP
-
dioperad
これらの関係については, Markl の [Mar08] や Vallette の [Val07] によると以下の通り:
- operad は \(\frac{1}{2}\)PROP
- \(\frac{1}{2}\)PROP は dioperad
- dioperad は properad
- PROP の圏から properad の圏への forgetful functor は left adjoint を持つ。つまり
properad からは PROP が生成される。
Poisson manifold の formal germ に star product が存在するという Kontsevich の定理の別証
[Mer] など, 幾何学的問題にも使われている。
Donald Yau は [Yau] で operadic collection という, enriched operad, properad, prop,
wheeled operad, wheeled prop などの構造をすべて含む概念を導入し, その上の algebra のホモトピー論を展開している。
PROP と同時期に生れた概念として, theory (algebraic theory) というものがある。
Operad の双対である cooperad という概念もある。例えば, Berger と Moerdijk の [BM03]
など。
Hortsch, Kriz, Pultr の [HKP] では, vertex algebra を定義するのに使われている。
群の作用を持つ場合については, Bonventre と Pereira の [BPa] の Introduction をみるとよい。
Bonventre と Pereira は, [BPb] で, その equivariant operad の文脈で complete Segal space
や Segal category の類似を定義している。
Operad を一般化した概念としては, 他に multicategory や colored operad と呼ばれているものがある。
Small category の nerve は simplicial set となるが, multicategory での対応する構成からは,
dendroidal set ができる。
Algebraic theory や multicategory などを統一して扱うための枠組みとして, Cruttwell と Shulman
[CS] は double category 上の monad を使うことを提案している。
これらを全て含む構造として, Kaufmann と Ward [KW17] は, Feynman category
というものを提案している。Kaufmann による lecture note [Kau18] がある。
その後 Kaufmann と Lucas [KL17] は decorated Feynman category を導入している。
同様の “operad-like structure” として, Batanin と Markl の [BM15] では, polynomial
monad , moment category, operator category [Bar18] といったものが挙げられている。 また Batanin と
Markl らも新たに operadic category という構造を導入している。
Batanin と Berger [BB] は, cyclic operad, modular operad, properad, prop などの様々な
operad の一般化が polynomial monad 上の algebra として表せることを示している。
Forcey と Siehler と Sowers は, [FSS] で operad を定義する圏の symmetric monoidal
という条件を一般化する ことを考えている。彼等は, 複数の“tensor product”を持つ iterated monoidal category
を考えている。
近年の higher category theory の普及, 特に \((\infty ,1)\)-category の人気により, operad の高次化も色々調べられている。
Horel [Hor] は, operad の profinite completion を考える際に, profinite completion
と直積の相性が良くないことから, operad の定義を Segal流に弱めたものを weak operad と言って用いている。
Operad の構造の一部を持つものも考えられている。Weissの [Wei] では, \(k\)個までの入力しか持たない \(k\)-truncated
operad というものが調べられている。
Umbral calculus に現れる操作と関連して monop という構成が Méndez と Sánchez [MS]
により導入されている。
References
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