Generalizations and Variations of Operads

複雑な構造を記述するために, operad 以前にも様々な試みがあった。例えば次のようなものである。

• PROP
• PACT

PROP と PACT は, Mac Lane [Mac63] により導入された概念である。

これらについては, Adams の無限ループ空間に関する本 [Ada78] に解説がある。Markl の [Mar08] も見るとよい。

PROP に関連したものとして bialgebra があるが, Saneblidze と Umble は, [SU11] で bialgebra の homotopy version を考える際に matron という概念を導入している。その後, matrad という名前に変えている。

• matron あるいは matrad

彼等は, associahedron から始まる 多面体の列を構成し, matrad の中で中心的な役割のものが, その cellular chain complex と同型であることを示している。

Vallette が PROP の Kozsul duality について [Val03; Val07] で調べているが, その中で, PROP の本質的な部分を取り出した properad という概念を導入している。

他にも Kozsul duality の文脈で, \(\frac {1}{2}\)PROP や dioperad [Gan03] という概念が考えられている。\(\frac {1}{2}\)PROP は Kontsevich によるものらしいが, その定義等は Markl の [Mar08] を見るのがいいだろう。

• properad
• \(\frac {1}{2}\)PROP
• dioperad

これらの関係については, Markl の [Mar08] や Vallette の [Val07] によると以下の通り:

• operad は \(\frac {1}{2}\)PROP
• \(\frac {1}{2}\)PROP は dioperad
• dioperad は properad
• PROP の圏から properad の圏への forgetful functor は left adjoint を持つ。つまり properad からは PROP が生成される。

Poisson manifold の formal germ に star product が存在するという Kontsevich の定理の別証 [Mer] など, 幾何学的問題にも使われている。

Donald Yau は [Yau] で operadic collection という, enriched operad, properad, prop, wheeled operad, wheeled prop などの構造をすべて含む概念を導入し, その上の algebra のホモトピー論を展開している。

• operadic collection

PROP と同時期に生れた概念として, theory (algebraic theory) というものがある。

• algebraic theory と関連した概念

PROP と同様に Hopf algebra (bialgebra) のような, “operation” と “copoeration” を持つものを記述するための operad の拡張として, Shai Haran [Har] が bi-operad という構造を導入している。\(\F _{1}\) とも関係があるようで, 興味深い。

• bi-operad

群の作用を考えた文脈での operad も考えられている。 \(E_{\infty }\)-operad が, spectrum の積の可換性を記述するように, \(G\)-equivariant operad で, ある条件をみたすものが, equivariant spectrum の積の可換性を記述する。例えば, Blumberg と Hill の [BH15] を見るとよい。

• \(N_{\infty }\)-operad

様々な群の作用をまとめて考えた global equivariant homotopy theory での operad, 特に \(E_{\infty }\)-operad の global 版については, Barrero [Bar] が考えている。

• global \(E_{\infty }\)-operad

Operad の双対である cooperad という概念もある。例えば, Berger と Moerdijk の [BM03] など。

• cooperad

Hortsch, Kriz, Pultr の [HKP10] では, vertex algebra を定義するのに使われている。

群の作用を持つ場合については, Bonventre と Pereira の [BP21] の Introduction をみるとよい。

• equivariant operad

Bonventre と Pereira は, [BP20] で, その equivariant operad の文脈で complete Segal space や Segal category の類似を定義している。

Operad を一般化した概念としては, 他に multicategory や colored operad と呼ばれているものがある。

• multicategory

Small category の nerve は simplicial set となるが, multicategory での対応する構成からは, dendroidal set ができる。

• dendroidal set

Algebraic theory や multicategory などを統一して扱うための枠組みとして, Cruttwell と Shulman [CS10] は double category 上の monad を使うことを提案している。

これらを全て含む構造として, Kaufmann と Ward [KW17] は, Feynman category というものを提案している。Kaufmann による lecture note [Kau18] がある。

• Feynman category

その後 Kaufmann と Lucas [KL17] は decorated Feynman category を導入している。Operad に対しては, Ginzburg と Kapranov [GK94] により Koszul duality が導入されたが, Kaufmann と Ward [KW] は Feynman category の Koszul duality を考えている。

同様の “operad-like structure” として, Batanin と Markl の [BM15] では, polynomial monad , moment category, operator category [Bar18] といったものが挙げられている。 また Batanin と Markl らも新たに operadic category という構造を導入している。

• operadic category

Batanin と Berger [BB17] は, cyclic operad, modular operad, properad, prop などの様々な operad の一般化が polynomial monad 上の algebra として表せることを示している。

Forcey と Siehler と Sowers は, [FSS] で operad を定義する圏の symmetric monoidal という条件を一般化する ことを考えている。彼等は, 複数の“tensor product”を持つ iterated monoidal category を考えている。

近年の higher category theory の普及, 特に \((\infty ,1)\)-category の人気により, operad の高次化も色々調べられている。

• higher operads

Higher category に使われるものとしては, Baez と Dolan が [BD98] で導入した opetope というものもある。 Leinster の本 [Lei04] には, opetope に関する chapter がある。

• opetope

Zawadowski の [Zawa] に書かれているように, opetope を定義する方法は, 実にたくさんある。 そこで挙げられているのは, 次の文献である: [Bur93], [Zaw11], [BD98], [HMP00; HMP01; HMP02], [Lei04], [Che03], [SZ13] , [FS17], [CTM], [Ho 20], [Pal04], [Koc+10], [Zawc], [Zawb]

Opetope の一般化として, actad というものを Sophie Kriz [Kri] が導入している。

• actad

Horel [Hor17] は, operad の profinite completion を考える際に, profinite completion と直積の相性が良くないことから, operad の定義を Segal流に弱めたものを weak operad と言って用いている。

• weak operad

Operad の構造の一部を持つものも考えられている。Weissの [Wei19] では, \(k\)個までの入力しか持たない \(k\)-truncated operad というものが調べられている。

• \(k\)-truncated operad

Umbral calculus に現れる操作と関連して monop という構成が Méndez と Sánchez [MS] により導入されている。

• monop

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