Operad は, 複数の入力と1つの出力のを持つ代数的構造である。その colored version である multicategory は,
morphism が複数の入力を持つ小圏の一般化とみなしてよい。
高次の圏論が様々な場面で有用 (必要) であることが分かってきて, operad の理論もそれに合せて高次化する必要が出てきた。
Operad の高次化としては, まずBatanin [Bat98; Bat08] の考えているものがある。その motivation の一つは,
高次の圏を定義することである。
Lurie [Lur] は, quasicategory に基づいた \(\infty \)-operad を考えている。
Lurie のアプローチに基いた \(\infty \)-operad の記述としては, Haugseng と Kock [HK] によるものもある。
\(\infty \)-operad 上の algebra やその homotopy theory については, Heuts が [Heua] で調べている。また
[Heub] では, infinite loop space に対する delooping machine についても考えている。
もっとも, \((\infty ,1)\)-category の model が quasicategory, simplicial category, complete Segal
space, Segal category など色々あるように, \(\infty \)-operad の model にも色々なものがある。例えば, small category と
simplicial set の関係の類似が operad (multicategory) と dendroidal set なので, dendroidal set
を使うのは自然なアイデアである。
それらのモデル圏を比較し, Quillen equivalent であることを示したものとして, Cisinski と Moerdijk の [CM] や
Bergner と Hackney の [BH14], そして Heuts, Hinich, Moerdjik の [HHM] がある。 それらと Chu,
Haugseng, Heuts の [CHH] を合せると, これら全て の model が全て同値であることが言える。
Gepner, Haugseng, Kock [GHK] は, polynomial functor の \(\infty \)-category 版を考えることにより,
\(\infty \)-operad を定義している。
Hackeyら [HRY15; HRY] は, より一般に properad の \(\infty \) 版を考えている。
Hackney ら [HRY19] は, cyclic operad の高次版も考えている。
Devalapurkar [Dev] は \((\infty ,2)\)-category 版を導入している。
References
-
[Bat08]
-
M. A. Batanin. “The Eckmann-Hilton argument and higher
operads”. In: Adv. Math. 217.1 (2008), pp. 334–385. arXiv: math/
0207281. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.06.014.
-
[Bat98]
-
M. A. Batanin.
“Monoidal globular categories as a natural environment for the theory
of weak \(n\)-categories”. In: Adv. Math. 136.1 (1998), pp. 39–103. url:
http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1724.
-
[BH14]
-
Julia E. Bergner and Philip Hackney. “Group actions on Segal
operads”. In: Israel J. Math. 202.1 (2014), pp. 423–460. arXiv: 1207.
3465. url: https://doi.org/10.1007/s11856-014-1075-2.
-
[CHH]
-
Hongyi Chu, Rune Haugseng, and Gijs Heuts. Two models for the
homotopy theory of \(\infty \)-operads. arXiv: 1606.03826.
-
[CM]
-
Denis-Charles Cisinski and Ieke Moerdijk. Dendroidal sets and
simplicial operads. arXiv: 1109.1004.
-
[Dev]
-
Sanath Devalapurkar. 2-fold complete Segal operads. arXiv: 1607.
06034.
-
[GHK]
-
David Gepner, Rune Haugseng, and Joachim Kock. \(\infty \)-Operads as
Analytic Monads. arXiv: 1712.06469.
-
[Heua]
-
Gijs Heuts. Algebras over infinity-operads. arXiv: 1110.1776.
-
[Heub]
-
Gijs Heuts. An infinite loop space machine for infinity-operads. arXiv:
1112.0625.
-
[HHM]
-
Gijs Heuts, Vladimir Hinich, and Ieke Moerdijk. On the equivalence
between Lurie’s model and the dendroidal model for infinity-operads.
arXiv: 1305.3658.
-
[HK]
-
Rune Haugseng and Joachim Kock. \(\infty \)-operads as symmetric monoidal
\(\infty \)-categories. arXiv: 2106.12975.
-
[HRY]
-
Philip Hackney, Marcy Robertson, and Donald Yau. A simplicial
model for infinity properads. arXiv: 1502.06522.
-
[HRY15]
-
Philip Hackney, Marcy Robertson, and Donald Yau. Infinity
properads and infinity wheeled properads. Vol. 2147. Lecture
Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2015, pp. xv+358. isbn:
978-3-319-20546-5; 978-3-319-20547-2. arXiv: 1410 . 6716. url:
https://doi.org/10.1007/978-3-319-20547-2.
-
[HRY19]
-
Philip Hackney, Marcy Robertson, and Donald Yau. “Higher cyclic
operads”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.2 (2019), pp. 863–940. arXiv:
1611.02591. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.863.
-
[Lur]
-
Jacob Lurie. Higher Algebra. url:
https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.
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