Homological Stability

空間列

と ホモロジー \(h_{*}(-)\) が与えられたとき, できることはいくつかある。代数的トポロジーでは, spectral sequence を作り \(\displaystyle \hocolim _{n} X_{n}\) のホモロジーを求めることが良く行なわれる。

最近では, persistence を考えることが多いかもしれない。

実際には, 各 \(n\in \Z \) に対し得られる加群の列

で, 十分大きな \(N\) があり \(k\ge N\) に対しては, \(h_{n}(X_{k})\to h_{n}(X_{k+1})\) が同型になっていることが多い。そのようなことがおきるとき, この列は homological stability をみたすという。 もちろん群の列や代数の列など, ホモロジーが定義できるものなら何でも homological stability を考えることができる。

解説として, Wahl の [Wah23] があるので, まずはこれを見てみると良いと思う。

有名な例としては, 次のようなものがある。

• 対称群のホモロジー ([Nak60])
• 組紐群のホモロジー ([Arn70])
• 一般線形群のホモロジー ( Quillen Notebooks の1971年8月8日)
• mapping class group のホモロジー ([Har85],[Wah08])
• 自由群の automoprhism group のホモロジー ([Hat95])

その後も, 新しい例がどんどん発見されている。

これらの例のように, concatenation

を持ち, \(X_{1}\) のホモロジーの元をかけることにより homological stability の写像が得られていることが多い。

このことに注目したのが, Kupers と Miller の [KM18] であり Gakatius, Kupers, Randal-Williams の [GKR] である。 彼等は \(E_{n}\)-algebra の構造が有用であることを発見している。

更に, 彼等は [GKR19] で mapping class group のホモロジーには secondary homological stability というべき構造があることを発見している。更に高次の homological stability も考えられるが, これらのことについては Randal-Williams の [Ran] の Introduction に分かり易くまとめられている。

Randal-Williams は, このような higher homological stability が現れることを chromatic homotopy theory の Toda-Smith spectrum の構成の類似と考えていて, 興味深い。

References

[Arn70]

Vladimir I. Arnold. “On some topological invariants of algebraic functions”. In: Trans. Moscow Math. Soc. 21 (1970), pp. 27–46.

[GKR]

Soren Galatius, Alexander Kupers, and Oscar Randal-Williams. Cellular \(E_k\)-algebras. arXiv: 1805.07184.

[GKR19]

Søren Galatius, Alexander Kupers, and Oscar Randal-Williams. “\(E_2\)-cells and mapping class groups”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 130 (2019), pp. 1–61. arXiv: 1805.07187. url: https://doi.org/10.1007/s10240-019-00107-8.

[Har85]

John L. Harer. “Stability of the homology of the mapping class groups of orientable surfaces”. In: Ann. of Math. (2) 121.2 (1985), pp. 215–249. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971172.

[Hat95]

Allen Hatcher. “Homological stability for automorphism groups of free groups”. In: Comment. Math. Helv. 70.1 (1995), pp. 39–62. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02565999.

[KM18]

Alexander Kupers and Jeremy Miller. “\(E_n\)-cell attachments and a local-to-global principle for homological stability”. In: Math. Ann. 370.1-2 (2018), pp. 209–269. arXiv: 1405.7087. url: https://doi.org/10.1007/s00208-017-1533-3.

[Nak60]

Minoru Nakaoka. “Decomposition theorem for homology groups of symmetric groups”. In: Ann. of Math. (2) 71 (1960), pp. 16–42. url: https://doi.org/10.2307/1969878.

[Ran]

Oscar Randal-Williams. A chromatic approach to homological stability. arXiv: 2508.20629.

[Wah08]

Nathalie Wahl. “Homological stability for the mapping class groups of non-orientable surfaces”. In: Invent. Math. 171.2 (2008), pp. 389–424. arXiv: math/0601310. url: https://doi.org/10.1007/s00222-007-0085-7.

[Wah23]

Nathalie Wahl. “Homological stability: a tool for computations”. In: ICM—International Congress of Mathematicians. Vol. 4. Sections 5–8. EMS Press, Berlin, [2023] ©2023, pp. 2904–2927. arXiv: 2203.07767.