Segal Category

Segal category という名前には, “category” とという言葉が付いているが, simplicial space の一種である。

ある条件 (weak Kan condition) をみたす simplicial setが quasicategoryと呼ばれ \((\infty ,1)\)-category のモデルとして使われるように, 適当な条件をみたす simplicial space (bisimplicial set) は, higher category のモデルとして用いることができる。 そのようなものとして, Rezk の complete Segal space があるが, もう一つのモデルとして Segal category がある。

Bergner の [Ber07] によると, Dwyer と Kan と Smith により [DKS89] の中で考えられたのが最初のようである。 Toën と Vezzosi の [TV] にもそのように書かれているので, たぶんそうなのだろう。 ただ, そこでは Segal category という言葉は使われていない。 \(\Delta ^{\op }\) から simplicial set への functor で “special” なもの, として定義されている。この条件は Segal の [Seg74] で現れた条件の類似なので, Segal category と呼ばれている。

Bergner は, Tamsamani の [Tam99], Simpson の [Sim], Hirschowitz と Simpson の [HS], を挙げている。Tamsamani の論文では, Segal の論文は参照されていないので, 独自に 考えたもののようである。当然, Segal category という用語は使われていない。 Segal category という呼び方は, Simpson により導入されたもののようである。

Segal category での Grothendieck topology は, Toën と Vezzosi の [TV] で定義されている。そこでは, Segal topology と呼ばれているが。 定義は単純で, homotopy category 上の Grothendieck topology, というだけである。 Segal topology を持つ Segal category を Segal site と呼ぶ。

• Segal site
• Segal topos

Hirschowitz と Simpson [HS] は, Segal \(n\)-category を導入し, 調べている。

• Segal \(n\)-category

Segal category の enriched version は Bacard [Bac; Bac20] により考えられている。

References

[Bac]

Hugo V. Bacard. Segal Enriched Categories I. arXiv: 1009.3673.

[Bac20]

Hugo V. Bacard. “Segal enriched categories and applications”. In: Theory Appl. Categ. 35 (2020), Paper No. 33, 1227–1267.

[Ber07]

Julia E. Bergner. “A characterization of fibrant Segal categories”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 135.12 (2007), 4031–4037 (electronic). arXiv: math / 0603400. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-07-08924-1.

[DKS89]

W. G. Dwyer, D. M. Kan, and J. H. Smith. “Homotopy commutative diagrams and their realizations”. In: J. Pure Appl. Algebra 57.1 (1989), pp. 5–24. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(89)90023-6.

[HS]

André Hirschowitz and Carlos Simpson. Descente pour les \(n\)-champs (Descent for \(n\)-stacks). arXiv: math/9807049.

[Seg74]

Graeme Segal. “Categories and cohomology theories”. In: Topology 13 (1974), pp. 293–312. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(74)90022-6.

[Sim]

Carlos Simpson. A closed model structure for \(n\)-categories, internal \(\Hom \), \(n\)-stacks and generalized Seifert-Van Kampen. arXiv: alg-geom/ 9704006.

[Tam99]

Zouhair Tamsamani. “Sur des notions de \(n\)-catégorie et \(n\)-groupoı̈de non strictes via des ensembles multi-simpliciaux”. In: \(K\)-Theory 16.1 (1999), pp. 51–99. arXiv: alg - geom / 9512006. url: https://doi.org/10.1023/A:1007747915317.

[TV]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Segal topoi and stacks over Segal categories. arXiv: math/0212330.