Segal Space

Rezk は, [Rez01] で model category の成す model category を考えるために, ある条件をみたす simplicial space として Segal space の概念を導入した。その原型は Segal [Seg74] の \(\Gamma \)-space である。

その基礎となる simplicial space は “space” の category の simplicial object であるが, “space” として位相空間の category ではなく, simplicial set の category も使うことができる。というより, そちらの方が一般的である。位相空間の category より扱い易いからである。

ということで, 普通は Segal space は, ある条件 (Segal condition) をみたす bisimplicial set として定義される。 そのとき, bisimplicial set の圏には complete Segal space を fibrant object とする model structure が入る。

• complete Segal space

解説としては, Rasekh の [Rasb] がある。 Rasekh [Rasa] は, complete Segal space に internal な complete Segal object の概念を導入している。

その Segal space を fibrant object とする bisimplicial set の model structure と quasicategory を fibrant object とする simplicial set の圏の model structure を比べたのが Joyal と Tierney の [JT07] である。Complete Segal space の圏と simplicial category の圏の比較については, Bergner の [Ber09] も見るとよい。

これらは, \((\infty ,1)\)-category のモデルとして用いられるが, \((\infty ,n)\)-category のモデルのためには, 高次化したものが用いられる。 高次のモデル以外にも, higher Segal space は様々な用途がある。

• higher Segal space

Bonventre と Pereira は, [BP20] で equivariant operad の文脈で complete Segal space や Segal category の類似を定義している。

変種としては, Bergner [Ber08] による Bousfield-Segal space というものもある。 Stenzel [Ste22] は, Bousfield-Segal space は Segal space で \(1\)-morphism が invertible なものであることを示している。

Segal space の dg category 版は, Dimitriadis Bermejo の thesis [Dima; Dimb] で定義されている。

Degeneracy を持たない semi-Segal space を考えている人 [Sun] もいる。

References

[Ber08]

Julia E. Bergner. “Adding inverses to diagrams. II. Invertible homotopy theories are spaces”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.2 (2008), pp. 175–193. arXiv: 0710.2254. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251811072.

[Ber09]

Julia E. Bergner. “Complete Segal spaces arising from simplicial categories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 361.1 (2009), pp. 525–546. arXiv: 0704.1624. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04616-3.

[BP20]

Peter Bonventre and Luís A. Pereira. “Equivariant dendroidal Segal spaces and \(G\)-\(\infty \)-operads”. In: Algebr. Geom. Topol. 20.6 (2020), pp. 2687–2778. arXiv: 1801.02110. url: https://doi.org/10.2140/agt.2020.20.2687.

[Dima]

Elena Dimitriadis Bermejo. A new model for dg-categories. arXiv: 2302.00430.

[Dimb]

Elena Dimitriadis Bermejo. A new model of dg-categories. arXiv: 2308.06417.

[JT07]

André Joyal and Myles Tierney. “Quasi-categories vs Segal spaces”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 277–326. arXiv: math/0607820.

[Rasa]

Nima Rasekh. Complete Segal Objects. arXiv: 1805.03561.

[Rasb]

Nima Rasekh. Introduction to Complete Segal Spaces. arXiv: 1805.03131.

[Rez01]

Charles Rezk. “A model for the homotopy theory of homotopy theory”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 353.3 (2001), 973–1007 (electronic). arXiv: math/9811037. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-00-02653-2.

[Seg74]

Graeme Segal. “Categories and cohomology theories”. In: Topology 13 (1974), pp. 293–312. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(74)90022-6.

[Ste22]

Raffael Stenzel. “Bousfield-Segal spaces”. In: Homology Homotopy Appl. 24.1 (2022), pp. 217–243. arXiv: 1911.02454. url: https://doi.org/10.4310/hha.2022.v24.n1.a12.

[Sun]

Yuxun Sun. Identifying the homotopy fiber of a map of semi-Segal spaces. arXiv: 2410.19268.