非可換代数幾何学

通常の代数幾何学commutative algebra の理論を包含するように, associative algebra から非可換代数幾何を構築しようという試みもある。

単純に, associative algebra の category の opposite category を noncommutative affine scheme とみなすのがどうしてダメなのかについては, この MathOverflow の質問で議論されている。

具体的な例として noncommutative complete intersection がある。 Etingof と Ginzburg の [EG07] では, quiverpath algebra を例として考えている。Van den Bergh の [Van08] も, quiver の path algebra を考えている。その Introduction によると, \(k\) 上の非可換代数 \(A\) に定義された性質が幾何学的意味を持つかどうかを確かめるためには, 表現の成す空間 \(\Hom (A,M_n(k))\) に, 対応する (可換な) 幾何学的性質が誘導されるかどうかをみればよい, らしい。 非可換環論の立場からの survey として, Stafford と Van den Bergh の [SB01] がある。

Mahanta の survey [Mah; Mah08] に書いてあるアイデアは, 通常の scheme上 の quasi-coherent sheaf 全体の成す category の性質を持つ Abelian category (Grothendieck Abelian category) を考え, その圏の opposite category を noncommutative scheme とみなす, というものである。その元となるアイデアは Alexander Rosenberg [Ros95; Ros98] と Gabriel [Gab62] による scheme の reconstruction theorem のようである。

Kontsevich と Rosenberg [KR00] が, このアイデアに基づいてより詳しい “noncommutative smooth space” の定義をしている。彼らの Max-Plank の preprint (MPIM2004-35, MPIM2004-36, MPIM2004-37) では, \(Q\)-category という概念が定義されている。Brzesinski は [Brz08] でそれを弱めた \(S\)-category というものを定義している。

Quasi-coherent sheaf のなす圏の monoidal structure に着目したのは Tomasz Maszczyk の [Mas] である。

  • Grothendieck category
  • \(Q\)-category
  • \(S\)-category

より具体的な試みとしては, noncommutative algebra の prime ideal の集合上の Zariski topology を定義する [Oys75] というものもある。また van Oystaeyen は, [Van00] で noncommutative topology の概念を導入している。Le Bruyn の [Brua; Brub] も見るとよい。Le Bruyn のは, Kontsevich と Soibelman の [KS09] に基づいたものである。

Smooth affine scheme に対応すべき非可換環として, Cuntz と Quillen [CQ95] は, quasi-free (または formally smooth) という概念を定義している。

  • quasi-free algebra

Kapranov の [Kap98] は, 非可換環 \(R\) に対応する非可換 scheme とは, その可換化 \(R_{\mathrm {ab}}=R/[R,R]\) への projection \(R \to R/[R,R]\) に対応して \(\mathrm {Spec}(R_{\mathrm {ab}})\) からの埋め込みを持つものであるとの立場を取る。そして \(\mathrm {Spec}(R_{\mathrm {ab}})\) の “近傍” となるべきものを考えている。

複素多様体論と複素数体上の代数幾何の類似から, 非可換微分幾何で行なわれているように, \(C^*\)-algebra を用いるという方法も考えられる。 具体的には, 非可換微分幾何でよく調べられている noncommutative torus を genus \(1\) の代数曲線の非可換化と考え, genus が \(1\) より大きな代数曲線の非可換版を考えるということを Nikolaev が [Nik09; Nik06] で行なっている。Nikolaev は, [Nik12] で楕円曲線の数論的な側面についても \(C^*\)-algebra を用いて調べている。

複素数体上の代数多様体と言えば Hodge 理論であるが, Kontsevich と Soibelman は [KS09] で, Hodge-to-de Rham spectral sequence の degeneration について予想している。 その予想をある条件のもとで解決しているのが, Kaladin の [Kal08] である。Introduction には, そのアイデアの元になったのが, 代数的トポロジーでの topological Hochschild homologytopological cyclic homology であると書いてあり, 興味深い。

\(\mathrm {Ext}\)-finite hereditary category を smooth projective curve の homological generalization と見て, hereditary category を非可換代数幾何の対象とする立場もある。van Roosmalen [Roo08] が, その分類をしようとしている。

References

[Brua]

Lieven Le Bruyn. A non-commutative topology on rep A. arXiv: math/ 0307138.

[Brub]

Lieven Le Bruyn. Noncommutative geometry and dual coalgebras. arXiv: 0805.2377.

[Brz08]

Tomasz Brzeziński. “Notes on formal smoothness”. In: Modules and comodules. Trends Math. Basel: Birkhäuser Verlag, 2008, pp. 113–124. arXiv: 0710.5527.

[CQ95]

Joachim Cuntz and Daniel Quillen. “Algebra extensions and nonsingularity”. In: J. Amer. Math. Soc. 8.2 (1995), pp. 251–289. url: http://dx.doi.org/10.2307/2152819.

[EG07]

Pavel Etingof and Victor Ginzburg. “Noncommutative complete intersections and matrix integrals”. In: Pure Appl. Math. Q. 3.1, Special Issue: In honor of Robert D. MacPherson. Part 3 (2007), pp. 107–151. arXiv: math.AG/0603272.

[Gab62]

Pierre Gabriel. “Des catégories abéliennes”. In: Bull. Soc. Math. France 90 (1962), pp. 323–448.

[Kal08]

D. Kaledin. “Non-commutative Hodge-to-de Rham degeneration via the method of Deligne-Illusie”. In: Pure Appl. Math. Q. 4.3, Special Issue: In honor of Fedor Bogomolov. Part 2 (2008), pp. 785–875. arXiv: math/0611623. url: http://dx.doi.org/10.4310/PAMQ.2008.v4.n3.a8.

[Kap98]

M. Kapranov. “Noncommutative geometry based on commutator expansions”. In: J. Reine Angew. Math. 505 (1998), pp. 73–118. arXiv: math/9802041. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.1998.122.

[KR00]

Maxim Kontsevich and Alexander L. Rosenberg. “Noncommutative smooth spaces”. In: The Gelfand Mathematical Seminars, 1996–1999. Gelfand Math. Sem. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 2000, pp. 85–108. arXiv: math/9812158.

[KS09]

M. Kontsevich and Y. Soibelman. “Notes on \(A_{\infty }\)-algebras, \(A_{\infty }\)-categories and non-commutative geometry”. In: Homological mirror symmetry. Vol. 757. Lecture Notes in Phys. Berlin: Springer, 2009, pp. 153–219. arXiv: math/0606241.

[Mah]

Snigdhayan Mahanta. On some approaches towards non-commutative algebraic geometry. arXiv: math/0501166.

[Mah08]

Snigdhayan Mahanta. “Lecture notes on noncommutative algebraic geometry and noncommutative tori”. In: An invitation to noncommutative geometry. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2008, pp. 355–382. arXiv: math/ 0610043. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812814333_0005.

[Mas]

Tomasz Maszczyk. Noncommutative geometry through monoidal categories. arXiv: math/0611806.

[Nik06]

Igor Nikolaev. “On complex and noncommutative tori”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 134.4 (2006), 973–981 (electronic). arXiv: math/0212324. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-05-08244-4.

[Nik09]

Igor V. Nikolaev. “Noncommutative geometry of algebraic curves”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 137.10 (2009), pp. 3283–3290. arXiv: math/0104077. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-09-09917-1.

[Nik12]

Igor V. Nikolaev. “On the AF-algebra of a Hecke eigenform”. In: Proc. Edinb. Math. Soc. (2) 55.1 (2012), pp. 207–213. arXiv: math/ 0511361. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0013091510001203.

[Oys75]

F. van Oystaeyen. Prime spectra in non-commutative algebra. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 444. Berlin: Springer-Verlag, 1975, pp. v+128.

[Roo08]

Adam-Christiaan van Roosmalen. “Classification of abelian hereditary directed categories satisfying Serre duality”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.5 (2008), pp. 2467–2503. arXiv: math / 0601418. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04426-1.

[Ros95]

Alexander L. Rosenberg. Noncommutative algebraic geometry and representations of quantized algebras. Vol. 330. Mathematics and its Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1995, pp. xii+315. isbn: 0-7923-3575-9.

[Ros98]

Alexander L. Rosenberg. “The spectrum of abelian categories and reconstruction of schemes”. In: Rings, Hopf algebras, and Brauer groups (Antwerp/Brussels, 1996). Vol. 197. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 1998, pp. 257–274.

[SB01]

J. T. Stafford and M. van den Bergh. “Noncommutative curves and noncommutative surfaces”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 38.2 (2001), pp. 171–216. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-01-00894-1.

[Van00]

Freddy Van Oystaeyen. Algebraic geometry for associative algebras. Vol. 232. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. New York: Marcel Dekker Inc., 2000, pp. vi+287. isbn: 0-8247-0424-X.

[Van08]

Michel Van den Bergh. “Double Poisson algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.11 (2008), pp. 5711–5769. arXiv: math/0410528. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04518-2.