Quiver から定義される各種 algebra

Small category を扱うときには, その元になる基本的な構造として quiver を考えるべきである。

例えば, poset の incidence algebra の自然な拡張として, small category に対して定義される algebra [GS83] は, quiver から生成される free small category に対しては quiver の path algebra と呼ばれるものになる。

• quiver の path algebra

Favero と Huang は [FH25] で, finite acyclic quiver に対し, path algebra をある ideal で割ったものとして, homotopy path algebra という algebra を導入している。 さらに, それに associate した small category を定義し, その 分類空間を調べていて興味深い。 その動機は, Bondal と Ruan による homological mirror symmetry の仕事 [Bon06] のようである。

• homotopy path algebra

グラフは, 組み合せ論の基本的な研究対象であるが, quiver は, 表現論でよく使われる。 (組み合わせ論で登場するときは, directed graph と呼ばれることが多い気がする。) そして Khovanov と Seidel の [KS02] で行なわれているように, graph から代数的 (幾何学的) 対象を構成するのは, 結構 popular な手法のようである。 これについては Reiten の AMS Notices の記事 [Rei97] が分かりやすい。Huerfano と Khovanov の [HK01] でも preprojective algebra の解説として参照されている。他には Crawley-Boevey の lecture note もある。

• quiver の double
• preprojective algebra

Huerfano と Khovanov は, Khovanov と Seidel の [KS02] などで調べられている graph から作られた algebra (彼らは zigzag algebra と呼んでいる) と preprojective algebra にの関係ついても述べている。他にも path algebra から作られるものとしては, Gel\('\)fand と Retakh と Serconek と Wilson [Gel+05] の splitting algebra がある。Noncommutative algebra での因数分解に関係するものらしい。

• graph の zigzag algebra [HK01]
• splitting algebra

ある一定の長さ以上の path を無視した truncated path algebra (truncated quiver algebra) というものもある。

• quiver の truncated path algebra

逆に, 一般の有限次元 associative algebra \(A\) に対し, それが quiver の path algebra のquotient として実現できるかどうかという問題も考えられる。 これについては, 有名な Gabriel の結果 [Gab73] がある。

• bound quiver
• ある条件をみたす有限次元代数は bound quiver \((Q,I)\) により \(kQ/I\) と表示できる

Path algebra の dualとして path coalgebra を Chin と Montgomery が [CM97] で定義している。Cibils と Rosso は [CR02] で path coalgebra が graded Hopf algebra の構造を持つための quiver に関する必要十分条件を求めている。

• quiver の path coalgebra
• Hopf quiver
• quiver Hopf algebra

Quiver からは, necklace Lie algebra というものも定義される。

• necklace Lie algebra [Gin01; BL02]

Ginzburg と Schedler の [GS06] は, その quiver からできる necklace Lie algebra の stable homology と necklace Lie algebra の quantization を調べたものである。

最近では, cluster algebra が有名である。Fomin [Fom10] によると, quiver からできるものに制限しても十分意味がある。

• cluster algebra

Leavitt が [Lea57; Lea62] で invariant basis number property を調べた際に定義した algebra の拡張として Leavitt path algebra という種類の algebra がある。Leavitt の仕事からどのように Leavitt path algebra が登場したか, Gene Abrams の survey [Abr15] にとても詳しく書かれているので, まずはこれを見るとよいと思う。 Gene Abrams は, AMS の Notices の “What is\(\ldots \)” [Abr16] も書いている。 より詳しくは, Springer Lecture Notes の [AAS17] がある。

• Leavitt algebra of type \((m,n)\)
• Leavitt path algebra
• \(C^{*}\)-algebra of graphs

Abrams の survey によると Leavitt path algebra の起源は2つある。 一つは, Ara と Goodearl と Pardo の [AGP02] であり, そこで Cuntz [Cun77] が導入した \(C^{*}\)-algebra \(\cO _{n}\) と Leavitt algebra との関係が明らかになったようである。 もう一つの起源は, Abrams の仕事 [Abr97] のようである。

Quiver から直接定義される algebra ではないが, Sinha と Walter [SW11; Wal] は, quiver から operad や cooperad を作り, その上の algebra や coalgebra を考えている。

References

[AAS17]

Gene Abrams, Pere Ara, and Mercedes Siles Molina. Leavitt path algebras. Vol. 2191. Lecture Notes in Mathematics. Springer, London, 2017, pp. xiii+287. isbn: 978-1-4471-7343-4; 978-1-4471-7344-1.

[Abr15]

Gene Abrams. “Leavitt path algebras: the first decade”. In: Bull. Math. Sci. 5.1 (2015), pp. 59–120. arXiv: 1410.1835. url: https://doi.org/10.1007/s13373-014-0061-7.

[Abr16]

Gene Abrams. “What is \(\ldots \) a Leavitt path algebra?” In: Notices Amer. Math. Soc. 63.8 (2016), pp. 910–911. url: https://doi.org/10.1090/noti1414.

[Abr97]

Gene Abrams. “Non-induced isomorphisms of matrix rings”. In: Israel J. Math. 99 (1997), pp. 343–347. url: https://doi.org/10.1007/BF02760690.

[AGP02]

P. Ara, K. R. Goodearl, and E. Pardo. “\(K_0\) of purely infinite simple regular rings”. In: \(K\)-Theory 26.1 (2002), pp. 69–100. arXiv: math/0111066. url: https://doi.org/10.1023/A:1016358107918.

[BL02]

Raf Bocklandt and Lieven Le Bruyn. “Necklace Lie algebras and noncommutative symplectic geometry”. In: Math. Z. 240.1 (2002), pp. 141–167. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002090100366.

[Bon06]

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[CM97]

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[CR02]

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[FH25]

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[Gab73]

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[Gel+05]

Israel Gelfand, Vladimir Retakh, Shirlei Serconek, and Robert Lee Wilson. “On a class of algebras associated to directed graphs”. In: Selecta Math. (N.S.) 11.2 (2005), pp. 281–295. arXiv: math/0506507. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-005-0005-x.

[Gin01]

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[GS06]

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[GS83]

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[HK01]

Ruth Stella Huerfano and Mikhail Khovanov. “A category for the adjoint representation”. In: J. Algebra 246.2 (2001), pp. 514–542. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.2001.8962.

[KS02]

Mikhail Khovanov and Paul Seidel. “Quivers, Floer cohomology, and braid group actions”. In: J. Amer. Math. Soc. 15.1 (2002), 203–271 (electronic). arXiv: math/0006056. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-01-00374-5.

[Lea57]

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[Lea62]

W. G. Leavitt. “The module type of a ring”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 103 (1962), pp. 113–130. url: https://doi.org/10.2307/1993743.

[Rei97]

Idun Reiten. “Dynkin diagrams and the representation theory of algebras”. In: Notices Amer. Math. Soc. 44.5 (1997), pp. 546–556.

[SW11]

Dev Sinha and Benjamin Walter. “Lie coalgebras and rational homotopy theory, I: graph coalgebras”. In: Homology Homotopy Appl. 13 (2011), pp. 263–292. arXiv: math/0610437. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2011.v13.n2.a16.

[Wal]

Ben Walter. Lie algebra configuration pairing. arXiv: 1010.4732.