|
Riemann 面や代数曲線の moduli space は, 様々な分野と関連している。 数理物理との関連も重要である。教科書としては,
Harris と Morrison の本 [HM98] がある。 楕円曲線の moduli space については, Hain の講義ノート [Hai11]
がある。
Kimura, Stasheff, Voronov の [KSV95] で示されているように, 適当な compactification が
operad の構造を持つ場合もある。
Riemann 面の moduli space の 胞体分割については, Salvatore の [Sal22] では Mondello の
[Mon09] が参照されている。 そこに書かれているのは, Harer, Penner, Thurston による quadratic differential
や hyperbolic metric を用いたものであるが, Salvatore によると別のアプローチとして meromorphic differential
を用いた Giddings と Wolpert のもの [GW87] があり, 異なる胞体分割を与えるようである。
Riemann 面の moduli 空間については, まず Teichmüller空間 は知っておくべきだろう。
代数曲線の moduli 空間の compactification として有名なのは, Deligne-Mumford compactification
[DM69] である。
- Deligne-Mumford compactification
種数 \(0\) の \(n\) 点のマークを持つ代数曲線の moduli 空間の Deligne-Mumford compactification \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}}\) は,
かなりよく研究されている。
一般の genus の moduli space \(\mathcal {M}_{g,n}\) の研究としては, Kontsevich [Kon92; Kon93; Kon94] (とWitten
[Wit91]) のものがある。Hamilton の [Ham10] の Introduction が分かりやすい。また Charney と Lee の
[CL84] もある。
- \(\mathcal {M}_{g,n}\) は, ribbon graph で index された orbi-cell complex の構造を持つ
- \(\mathcal {M}_{g,n}\) のホモロジーは, ある種の differential graded Lie algebra の Chevalley-Eilenberg
homology と同型になる
- Kontsevich による \(\mathcal {M}_{g,n}\) の compactification [Kon92]
- \(\mathcal {M}_{g,n}\) の Kontsevich compactification の homology についての Kontsevich の結果の類似
[Ham10]
- Charney-Lee の category [CL84]
- Charney-Lee の category の 分類空間は, Deligne-Mumford compactification と
homotopy同値 ([EG08])
Kontsevich は [Kon92] で, moduli space の二つの体積の比を計算している。その値は [CMS11] で
Kontsevich constant と呼ばれている。 また, Kontsevich は, ribbon graph の moduli space
との関係を用いている。
Moduli space の体積については, recursion formula が得られている。 Mirzakhani の [Mir07a;
Mir07b]や Eynard と Orantin の [EO07; EO] など。Mulase と Safnuk の [MS08] にも解説がある。また
ribbon graph の moduli space を用いても recursion formula が得られる。Chapman, Mulase,
Safnuk の [CMS11] を見るとよい。また, quantum gravity からの motivation, よって KdV hierarchy
などとの関係については, Kontsevich の [Kon92] の §1 が分かりやすい。
Grothendieck によると, moduli space は groupoid, あるいは stack と見るのが正しいらしい。
対象となる空間達を object とし, その間の isomorphism を morphism とする groupoid である。 Ebert と
Giansiracusa は, [EG11] で stack に対し Pontrjagin-Thom construction と呼ぶべき構成を定義し,
stable curve の moduli stack のホモロジーを調べている。
ホモトピー論への応用としては, elliptic curve の上の moduli stack の chromatic stable homotopy
theory への応用がある。Behrens は [Beh06] で \(p=3\) での \(K(2)\)-localized sphere を調べるために用いている。
References
-
[Beh06]
-
Mark Behrens. “A modular description of the \(K(2)\)-local sphere at the
prime 3”.
In: Topology 45.2 (2006), pp. 343–402. arXiv: math/0507184. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.08.005.
-
[CL84]
-
Ruth Charney and Ronnie Lee. “Moduli space of stable curves from
a homotopy
viewpoint”. In: J. Differential Geom. 20.1 (1984), pp. 185–235. url:
http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214438997.
-
[CMS11]
-
Kevin M. Chapman, Motohico Mulase, and Brad Safnuk.
“The Kontsevich constants for the volume of the moduli
of curves and topological recursion”. In: Commun. Number
Theory Phys. 5.3 (2011), pp. 643–698. arXiv: 1009.2055. url:
https://doi.org/10.4310/CNTP.2011.v5.n3.a3.
-
[DM69]
-
P. Deligne and D.
Mumford. “The irreducibility of the space of curves of given genus”.
In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 36 (1969), pp. 75–109. url:
http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1969__36__75_0.
-
[EG08]
-
Johannes Ebert and Jeffrey Giansiracusa. “On the homotopy
type of the Deligne-Mumford compactification”. In: Algebr. Geom.
Topol. 8.4 (2008), pp. 2049–2062. arXiv: 0807.2576. url:
https://doi.org/10.2140/agt.2008.8.2049.
-
[EG11]
-
Johannes Ebert and Jeffrey Giansiracusa. “Pontrjagin-Thom maps
and the homology of the moduli stack of stable curves”. In:
Math. Ann. 349.3 (2011), pp. 543–575. arXiv: 0712.0702. url:
https://doi.org/10.1007/s00208-010-0518-2.
-
[EO]
-
Bertrand Eynard and Nicolas Orantin. Weil-Petersson volume of
moduli spaces, Mirzakhani’s recursion and matrix models. arXiv:
0705.3600.
-
[EO07]
-
B. Eynard and N. Orantin. “Invariants of
algebraic curves and topological expansion”. In: Commun. Number
Theory Phys. 1.2 (2007), pp. 347–452. arXiv: math-ph/0702045.
url: https://doi.org/10.4310/CNTP.2007.v1.n2.a4.
-
[GW87]
-
Steven B. Giddings and
Scott A. Wolpert. “A triangulation of moduli space from light-cone
string theory”. In: Comm. Math. Phys. 109.2 (1987), pp. 177–190.
url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104116838.
-
[Hai11]
-
Richard Hain. “Lectures on moduli spaces of elliptic curves”. In:
Transformation groups and moduli spaces of curves. Vol. 16. Adv.
Lect. Math. (ALM). Int. Press, Somerville, MA, 2011, pp. 95–166.
arXiv: 0812.1803.
-
[Ham10]
-
Alastair Hamilton. “Noncommutative
geometry and compactifications of the moduli space of curves”. In:
J. Noncommut. Geom. 4.2 (2010), pp. 157–188. arXiv: 0710.4603.
url: http://dx.doi.org/10.4171/JNCG/52.
-
[HM98]
-
Joe Harris and Ian Morrison. Moduli of curves. Vol. 187.
Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1998,
pp. xiv+366. isbn: 0-387-98438-0; 0-387-98429-1.
-
[Kon92]
-
Maxim Kontsevich.
“Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix
Airy function”. In: Comm. Math. Phys. 147.1 (1992), pp. 1–23. url:
http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104250524.
-
[Kon93]
-
Maxim Kontsevich. “Formal (non)commutative symplectic
geometry”. In: The Gel\('\) fand Mathematical Seminars, 1990–1992.
Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1993, pp. 173–187.
-
[Kon94]
-
Maxim Kontsevich. “Feynman diagrams and low-dimensional
topology”. In: First European Congress of Mathematics, Vol. II
(Paris, 1992). Vol. 120. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 1994,
pp. 97–121.
-
[KSV95]
-
Takashi Kimura, Jim Stasheff, and Alexander A. Voronov. “On
operad structures of moduli spaces and string theory”. In: Comm.
Math. Phys. 171.1 (1995), pp. 1–25. arXiv: hep-th/9307114. url:
http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104273401.
-
[Mir07a]
-
Maryam Mirzakhani. “Simple geodesics and Weil-Petersson volumes
of moduli spaces of bordered Riemann surfaces”. In: Invent. Math.
167.1 (2007), pp. 179–222. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s00222-006-0013-2.
-
[Mir07b]
-
Maryam Mirzakhani.
“Weil-Petersson volumes and intersection theory on the moduli space
of curves”. In: J. Amer. Math. Soc. 20.1 (2007), 1–23 (electronic).
url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-06-00526-1.
-
[Mon09]
-
Gabriele Mondello. “Riemann
surfaces, ribbon graphs and combinatorial classes”. In: Handbook of
Teichmüller theory. Vol. II. Vol. 13. IRMA Lect. Math. Theor. Phys.
Eur. Math. Soc., Zürich, 2009, pp. 151–215. arXiv: 0705.1792. url:
https://doi.org/10.4171/055-1/6.
-
[MS08]
-
Motohico Mulase and Brad Safnuk. “Mirzakhani’s recursion
relations, Virasoro constraints and the KdV hierarchy”. In: Indian J.
Math. 50.1 (2008), pp. 189–218. arXiv: math/0601194.
-
[Sal22]
-
Paolo Salvatore. “A cell decomposition of the Fulton MacPherson
operad”. In: J. Topol. 15.2 (2022), pp. 443–504. arXiv: 1906.07694.
url: https://doi.org/10.1112/topo.12224.
-
[Wit91]
-
Edward Witten. “Two-dimensional gravity and intersection theory
on moduli space”. In: Surveys in differential geometry (Cambridge,
MA, 1990). Bethlehem, PA: Lehigh Univ., 1991, pp. 243–310.
|
