距離と距離空間

位相幾何学といっても, 一般の位相空間全てを相手にすることはほとんどなく, 実際に扱うのは, Euclid空間の部分空間, せいぜい距離空間であることが多い。 距離空間については以下のことを知っておくべきだろう。

完備距離空間の中で可分なものを Polish space と呼ぶようである。

  • Polish space

距離空間は位相空間としてはかなり良い空間である。

  • 距離空間は normal である

距離空間の間の写像に対しては, 通常の連続性だけでなく一様連続性を考えることもできる。 逆も一様連続であるものを uniform homeomorphism という。 更に, 距離の uniform homeomorphism による同値類を考えることにより, uniformity という構造を考えることができる。Uniformity が指定された距離空間を (metrizable) uniform space という。

  • 一様連続写像 (uniformly continuous)
  • uniform homeomorphism
  • uniform space

Uniform space については, Melikhov の [Mel] を見るとよい。 Geometric topology と algebraic topology への応用を念頭に置いているようである。

コンパクト距離空間では, Lebesgue 数が定義できる。

  • Lebesgue 数の定義

Lebesgue 数は, コンパクト距離空間, 例えば \([0,1]^n\) や \(S^n\), から位相空間 \(X\) への連続写像を考えるときに良く使う。\(X\) の開被覆があれば, その逆像をとることによりコンパクト距離空間の開被覆ができるからである。

Covering で定義されるものとして, Vietoris-Rips complex という単体的複体もある。

Borsuk number という不変量もある。同じ位相を定義する距離の Borsuk number の最小値を topological Borsuk number というらしい。 Soibelman の解説 [Soi] がある。

  • Borsuk number
  • topological Borsuk number

何と, Euclid空間の場合もよくわかっていないらしい。\(\R ^2\) の場合は Soibelman [Soı̆80] により equivariant topology の問題に帰着することにより解決された。\(n>2\) の場合の \(\R ^n\) の topological Borsuk number が何かは, まだ分かっていないようである。

距離空間からグラフを作ることにより chromatic number を定義することもできる。Parlier と Petit の [PP] など。

微分幾何では, metric の成す moduli space を考える。例えば, Walsh [Wal] は, positive scalar curvature metric の成す空間のホモトピー型が調べられている。

距離付け可能な位相空間は, topological vector space の部分空間とみなすことができる。Feragen の [Fer]はLie 群作用する空間の場合を扱っているが, その Introduction によると群の作用の無い場合に Banach 空間に convex subspace の閉部分集合として埋め込めるというのは, Wojdyslawski embedding theorem というらしい。参考文献として Hu の [Hu65] が挙げてある。

距離関数 \(d\) は \[ d(x,y) \le \max \{d(x,z),d(z,y)\} \] をみたすとき ultrametric と呼ばれる。

  • ultrametric

Hughes は, [Hug12] で非可換幾何学の手法を ultrametric space の local isometry 等を調べるのに用いている。この論文には ultrametric space についての基本的な性質もまとめられている。

距離空間に対しては, local isometry という同値関係を考えることにより, topological groupoid が得られる。Renault は, [Ren80] で, ある条件をみたす topological groupoid に対して, (noncommutative) \(C^*\)-algebra を定義しているが, Hughes は compact locally rigid ultrametric space の local isometry の groupoid に対し Renault の理論が適用できることを確かめている。 よって非可換幾何学の手法が使えるわけである。

距離の値として \(\infty \) まで許したものもよく使われる。 他にも距離の一般化は様々なものが導入されている。

Lie群の離散部分群や mapping class group などの離散群を考えるときにも距離が有効であるということを発見したのは, Gromov [Gro93] である。そのために asymptotic dimension など距離空間に対し様々な次元が定義されている。この分野では, ある距離空間から距離を ultrafilter に関し次第に縮めていった asymptotic cone [BDS11] など, 様々な距離空間に関する操作が駆使されているようである。

  • 有限生成群の word norm
  • 距離空間の様々な次元
  • asymptotic cone

Gromov は距離空間の間の距離も定義している。

  • Gromov-Hausdorff distance

近年, persitent homology の文脈でよく目にするようになった。 Persistent homology は, point cloud, すなわち有限距離空間の不変量である。

距離空間の性質を調べる際には測地線 (geodesic) は重要である。

  • geodesic

Behrstock と Charney [BC12] が right-angled Artin group の geodesic の divergence という不変量を調べているが, このように geometric group theory でも geodesic は重要なようである。

このように幾何学的な視点から距離空間を調べることも盛んに行なわれている。 例えば, Riemann 多様体の一般化として Alexandrov space という種類の距離 空間を調べることが行なわれている。Burago と Gromov と Perelman [BGP92] は Alexandrov の論文 [Ale51; Ale57] を参照している。

  • Alexandrov space

この文献ガイドの文献データは, Mathematical Reviews の BibTeX データをそのまま使っているものが多いのであるが, 古い時代の Mathematical Reviews のデータでは, ロシア人の綴りがいい加減なので, Alexandrov \(=\) Aleksandrov \(=\) Aleksandrow であり, 検索するときにとても困る。 更に, finite space の一般化である Alexandroff space の Alexandroff は別人なので余計にややこしい。

距離空間の圏論的な解釈として, Lawvere による [Law73] がある。距離空間を非負の実数の成す poset \(\R _{\ge 0}\) で enrich された small category と見なすというものであり, とても斬新な発想である。

  • enriched category としての距離空間

Leinster と Willerton [LW13; Wil; Lei13] は, この idea に基づいて, magnitude という不変量を定義している。

Bubenik, de Silva, Scott [BSS] は, Lawvere の方法で metric space を enriched category とみなしたときの Gromov-Hausdorff distance の “categorification” を提案している。

References

[Ale51]

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[Ale57]

A. D. Alexandrow. “Über eine Verallgemeinerung der Riemannschen Geometrie”. In: Schr. Forschungsinst. Math. 1 (1957), pp. 33–84.

[BC12]

Jason Behrstock and Ruth Charney. “Divergence and quasimorphisms of right-angled Artin groups”. In: Math. Ann. 352.2 (2012), pp. 339–356. arXiv: 1001.3587. url: https://doi.org/10.1007/s00208-011-0641-8.

[BDS11]

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[BGP92]

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[BSS]

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[Fer]

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[Wil]

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