Metric Spaces as Enriched Categories

Lawvere [Law73] は, 距離空間を enriched category とみなすことができることを発見した。

\(\infty \) も含めた非負の実数 \(\R _{\ge 0}\cup \{\infty \}\) を普通の順序で poset, つまり small category とみなすと, 実数の和により symmetric monoidal category になるが, 距離空間は, この monoidal category で enrich された small category とみなすことができる。

Lawvere はその論文の section 3 で Cauchy completeness についても議論している。距離空間の Cauchy completeness を enriched category に拡張できる。例えば, 集合の category で enrich された category, つまり small category が Cauchy complete である必要十分条件は, idempotent が split することである。

• Cauchy complete category

また距離空間をこのように enriched category とみなすと, Euler 標数を適用できる。Leinster と Willerton の [LW13; Wil; Lei13] など。彼等は, 距離空間の magnitude と呼んでいる。

• magnitude

References

[Law73]

F. William Lawvere. “Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. In: Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 43 (1973), 135–166 (1974).

[Lei13]

Tom Leinster. “The magnitude of metric spaces”. In: Doc. Math. 18 (2013), pp. 857–905. arXiv: 1012.5857.

[LW13]

Tom Leinster and Simon Willerton. “On the asymptotic magnitude of subsets of Euclidean space”. In: Geom. Dedicata 164 (2013), pp. 287–310. arXiv: 0908.1582. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10711-012-9773-6.

[Wil]

Simon Willerton. Heuristic and computer calculations for the magnitude of metric spaces. arXiv: 0910.5500.