Injective Metric Spaces

Injective metric space は, Aronszajn と Panitchpakdi の [AP56] で最初に導入されたのだろうか。 Haettel の [Hae] によると, geometric group theory で活発に調べられるようになったのは, Urs Lang の [Lan13] が切っ掛けだったようである。

概要を掴むには, Lang の [Lan13] の section 2 や, Haettel の survey [Hae] を読むのが良いように思える。

様々な特徴付けがあるが, 例えば, hyperconvex metric space や absolute \(1\)-Lipschitz retract と呼ばれるものと同値になる。

• hyperconvex metric space
• absolute \(1\)-Lipschitz retract

任意の metric space に対し, それを含む最小の injective metric space, つまり injective hull が構成できるが, これは Isbell [Isb64] による。Injective hull については, Lang の [Lan13] の section 3 にもまとめられている。

• injective hull

Injective metric space の discrete 版として Helly graph という構造がある。 Helly graph については, Chalopin らの [Cha+] がある。

• Helly graph

References

[AP56]

N. Aronszajn and P. Panitchpakdi. “Extension of uniformly continuous transformations and hyperconvex metric spaces”. In: Pacific J. Math. 6 (1956), pp. 405–439. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103043960.

[Cha+]

Jérémie Chalopin, Victor Chepoi, Anthony Genevois, Hiroshi Hirai, and Damian Osajda. Helly groups. arXiv: 2002.06895.

[Hae]

Thomas Haettel. Group actions on injective spaces and Helly graphs. arXiv: 2307.00414.

[Isb64]

J. R. Isbell. “Six theorems about injective metric spaces”. In: Comment. Math. Helv. 39 (1964), pp. 65–76. url: https://doi.org/10.1007/BF02566944.

[Lan13]

Urs Lang. “Injective hulls of certain discrete metric spaces and groups”. In: J. Topol. Anal. 5.3 (2013), pp. 297–331. arXiv: 1107.5971. url: https://doi.org/10.1142/S1793525313500118.