完備化

完備 (complete) という性質は, 何に対して定義されたのが最初だろうか。 大学に入って最初に学ぶのは, Cauchy列の収束性で定義された, Euclid空間や 距離空間の完備性だろう。

• 完備距離空間

\(\Z \) の素数 \(p\) での完備化 \(\Z ^{\wedge }_{p}\) や profinite completion \(\widehat {\Z }\), そして formal power series ring などもその流れで理解できる。

• \(\Z ^{\wedge }_p\)
• \(\widehat {\Z }\)
• formal power series ring

Bousfield と Kan [BK72] の simplicial set の \(p\) での局所化は, \(\Z \) から \(\Z ^{\wedge }_p\) を作る操作の拡張である。

Formal power series ring \(k[[x_1,\ldots ,x_n]]\) は, 多項式環 \(k[x_1,\ldots ,x_n]\) の completion として定義されるが, \(k\) が複素数体の場合は, その中間に \(\bbC ^n\) 上の正則関数の成す環がある。 多項式環から正則関数の成す環を作る操作もある種の completion と考えられるようである。 Akbarov [Akb16] によると, J.L. Taylor [Tay72] により topological algebra に対し定義されたが, 現在では Arens-Michael envelope と呼ばれているらしい。

• Arens-Michael envelope

Pirkovskii [Pir08]は, 多項式環と正則関数の成す環の対応を affine複素多様体へ拡張している。

より一般的な代数的な完備化として, 可換環 \(A\) の ideal \(\mathfrak {a}\) に関する完備化がある。\(A\)加群も完備化できる。よって \(\mathfrak {a}\) による完備化は \(A\)-module の category の上の endofunctor を与える。この completion functor の left derived functor については, Yekutieli らの [PSY14; PSY15b; PSY15a; Yek15] で調べられている。

代数的な完備性は, Hopf algebra などへも拡張されている。Quillen の[Qui69] の Appendix A には complete Hopf algebra についてまとめられている。Mal\('\)cev completion についても書いてある。

• filtered algebra の completion
• completed tensor product
• complete Hopf algebra
• Mal\('\)cev completion

Mal\('\)cev completion は, 群の完備化である。より一般に, group algebra \(kG\) の augmentation ideal に関する completion \(\widehat {kG}\) の成す Hopf algebra の group like element の成す群として, \(G\) の unipotent \(k\)-completion が得られ, \(k=\Q \) の場合が, Mal\('\)cev completion である。 これについては, Knudson の [Knu02] や Ekedahl と Merkulovによる seminar notes を見るとよい。

• 群の unipotent \(k\)-completion

References

[Akb16]

Sergei S. Akbarov. “Envelopes and refinements in categories, with applications to functional analysis”. In: Dissertationes Math. 513 (2016), p. 188. arXiv: 1110.2013. url: https://doi.org/10.4064/dm702-12-2015.

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 304. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. v+348.

[Knu02]

Kevin P. Knudson. “Relative completions and the cohomology of linear groups over local rings”. In: J. London Math. Soc. (2) 65.1 (2002), pp. 183–203. arXiv: math / 0104023. url: https://doi.org/10.1112/S0024610701002836.

[Pir08]

A. Yu. Pirkovskiı̆. “Arens-Michael envelopes, homological epimorphisms, and relatively quasifree algebras”. In: Tr. Mosk. Mat. Obs. 69 (2008), pp. 34–125.

[PSY14]

Marco Porta, Liran Shaul, and Amnon Yekutieli. “On the homology of completion and torsion”. In: Algebr. Represent. Theory 17.1 (2014), pp. 31–67. arXiv: 1010 . 4386. url: https://doi.org/10.1007/s10468-012-9385-8.

[PSY15a]

Marco Porta, Liran Shaul, and Amnon Yekutieli. “Cohomologically cofinite complexes”. In: Comm. Algebra 43.2 (2015), pp. 597–615. arXiv: 1208.4064. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2013.822506.

[PSY15b]

Marco Porta, Liran Shaul, and Amnon Yekutieli. “Erratum to: On the homology of completion and torsion [ MR3160712]”. In: Algebr. Represent. Theory 18.5 (2015), pp. 1401–1405. url: https://doi.org/10.1007/s10468-015-9557-4.

[Qui69]

Daniel Quillen. “Rational homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), pp. 205–295. url: https://doi.org/10.2307/1970725.

[Tay72]

Joseph L. Taylor. “Homology and cohomology for topological algebras”. In: Advances in Math. 9 (1972), pp. 137–182. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(72)90016-3.

[Yek15]

Amnon Yekutieli. “A separated cohomologically complete module is complete”. In: Comm. Algebra 43.2 (2015), pp. 616–622. arXiv: 1312.2714. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2014.924129.