凸多面体の一般化

Euclid空間の 凸多面体の一般化としては, まずその凸性だけを取り出した凸集合がある。

凸多面体は Euclid 空間で考えるのが基本であるが, 球面や 双曲空間での polytope を考えることもできる。 Felikson と Tumarkin の [FT08] によると, hyperbolic な場合はまだほとんど調べられていないようである。 Coxeter polytope の場合については, Felikson と Tumarkin の Introductionに少し書いてある。 彼等の [FT14] では, Vinberg の survey [Vin85] と本 [Vin93] が参照されている。Inoue [Ino08] によると, \(3\)次元の双曲多面体は, Andreev [And70] により調べられていて, Euclid空間の場合の Steinitz の定理に類似の特徴付けもできるようである。

  • hyperbolic polytope
  • spherical polytope

具体的な双曲空間の凸多面体としては, 例えば Kerckhoff と Storm の [KS10] で\(4\)次元の\(24\)胞体や cuboctahedron が使われている。

微分幾何学的な一般化としては, Gromov [Gro14] によるものがある。 Yu の [Yu24] では, Riemannian polyhedron と呼ばれている。

  • Riemannian polyhedron

組み合せ論的に抽象化すると, abstract polytope という概念が得られる。凸多面体の face lattice の持つ性質を抽象化して定義される poset のことである。 変換群を考え, abstract regular polytope という概念を定義することもできる。

抽象的というか, 現実には存在しない方向への一般化として, virtual polytope というものもある。 Minkowski 和に関する形式的な差を考えたものである。 Khovanskii と Pukhlikov [PK92a; PK92b] により導入されたのが最初なのだろうか。

有限体上の polytope という概念も考えることができる。Monson と Schulte の [MS04; MS07] など。

Polytope に構造を追加したものもある。例えば, H. Sakai [Sak13] は, stacky polytope という構造を考えている。Torus の作用を持つ symplectic smooth stack を考えるためである。

  • stacky fan
  • stacky polytope

Euclid 空間を半径 \(\infty \) の球面とみなすことで, Euclid 空間の多面体による tiling を凸多面体の一種と考えて調べることも, 古くから行なわれている。

また, 球面を他の 曲面に変えることも考えられている。 例えば, 曲面の 正則な胞体分割は, map と呼ばれ, 多面体の一般化として調べられている。写像という意味の map とまぎらわしいが。

一般化としては, Arkani-Hamed, Bai, Lam [ABL17] により導入された, positive geometry というものもある。 既約複素射影多様体 \(X\) と \(X(\R )\) の oriented closed semialgebraic subset \(X_{\le 0}\) の組である条件をみたすものとして定義される。

  • positive geometry

Arkani-Hamed は Trnka と共に [AT14b; AT14a] で amplituhedron を導入し調べている。 関連したもの (一般化) として, Lam が [Lam16] で導入した Grassmann polytope がある。

References

[ABL17]

Nima Arkani-Hamed, Yuntao Bai, and Thomas Lam. “Positive Geometries and Canonical Forms”. In: Journal of High Energy Physics 11 (2017), p. 039. arXiv: 1703.04541.

[And70]

E. M. Andreev. “Convex polyhedra in Lobačevskiı̆ spaces”. In: Mat. Sb. (N.S.) 81 (123) (1970), pp. 445–478.

[AT14a]

Nima Arkani-Hamed and Jaroslav Trnka. “Into the Amplituhedron”. In: Journal of High Energy Physics 12 (2014), p. 182. arXiv: 1312.7878.

[AT14b]

Nima Arkani-Hamed and Jaroslav Trnka. “The Amplituhedron”. In: Journal of High Energy Physics 10 (2014), p. 030. arXiv: 1312.2007.

[FT08]

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[FT14]

Anna Felikson and Pavel Tumarkin. “Essential hyperbolic Coxeter polytopes”. In: Israel J. Math. 199.1 (2014), pp. 113–161. arXiv: 0906.4111. url: https://doi.org/10.1007/s11856-013-0046-3.

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[PK92a]

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[Sak13]

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[Vin85]

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[Vin93]

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[Yu24]

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