凸多面体の一般化

Euclid 空間の 凸多面体の一般化としては, まずその凸性だけを取り出した凸集合がある。

• convex set

凸多面体は Euclid 空間で考えるのが基本であるが, 球面や 双曲空間での polytope を考えることもできる。 Felikson と Tumarkin の [FT08] によると, hyperbolic な場合はまだほとんど調べられていないようである。 Coxeter polytope の場合については, Felikson と Tumarkin の Introductionに少し書いてある。 彼等の [FT14] では, Vinberg の survey [Vin85] と本 [Vin93] が参照されている。Inoue [Ino08] によると, \(3\)次元の双曲多面体は, Andreev [And70] により調べられていて, Euclid空間の場合の Steinitz の定理に類似の特徴付けもできるようである。

• hyperbolic polytope
• spherical polytope

具体的な双曲空間の凸多面体としては, 例えば Kerckhoff と Storm の [KS10] で\(4\)次元の\(24\)胞体や cuboctahedron が使われている。

一方で, 凸性を弱めることも考えられている。 例えば, 平らにする, つまり, Euclid 空間を半径 \(\infty \) の球面とみなすことで, Euclid 空間の多面体による tiling を凸多面体の一種と考えて調べることも, 古くから行なわれている。

• tiling

また, 球面を他の 曲面に変えることも考えられている。 例えば, 曲面の 正則な胞体分割は, map と呼ばれ, 多面体の一般化として調べられている。写像という意味の map とまぎらわしいが。

• map

平面の多角形による胞体分割としては, origami もある。

• origami

平面に収まらない閉 多角形を skew polygon と呼ぶが, Coxeter [Cox37] は, その高次元版で regular なものを考えている。

• regular skew polyhedron

Coxeter が \(\R ^{4}\) で構成したものを \(\R ^{3}\) で実現することについては, Schulte と Wills (と McMullen) [SW86; MSW88] が考えている。

微分幾何学的な一般化としては, Gromov [Gro14] によるものがある。 Yu の [Yu24] では, Riemannian polyhedron と呼ばれている。

• Riemannian polyhedron

代数幾何学的には, 多項式で定義された面で囲まれた \(\R ^{n}\) の部分集合, つまり bounded semialgebraic set を考えるのが自然だろう。 Kohn らの [Koh+25] によると, Wachspress [Wac75] により polypol と名付けられ調べられている。Wachspress による最近の本 [Wac16] もある。他にも, polycon や polypoldron などの名前で呼ばれることがあるらしい。

• polypol

同様のものとしては, Arkani-Hamed, Bai, Lam [ABL17] により導入された, positive geometry というものもある。

• positive geometry

組み合せ論的に抽象化すると, abstract polytope という概念が得られる。凸多面体の face lattice の持つ性質を抽象化して定義される poset のことである。 変換群を考え, abstract regular polytope という概念を定義することもできる。

• abstract polytope
• abstract regular polytope

この, abstract regular polytope の原型の一つは, Shephard [She52] による regular complex polytope だと思う。 それについては, Coxeter による本 [Cox91] がある。Complex polytope は, 複素ベクトル空間のアフィン部分空間の集合として定義されるが, regular であることは, 包含関係による poset での maximal chain の集合への automorphism group の作用が transitive であるとして定義されるので, abstract regular polytope の場合と同じである。

• complex polytope
• regular complex polytope

同様に face lattice の組み合せ構造を抽象化して得られたものとして, Wilson [Wil12] により導入された maniplex というものもある。

• maniplex

実際に面を張るのではなく, 頂点の並びを指定して面とみなすというアプローチもある。 Schulte と Williams [SW16] によると, 最初 Grünbaum [Grü77] により考えられたようである。

• skeletal polyhedron

抽象的というか, 現実には存在しない方向への一般化として, virtual polytope というものもある。 Minkowski 和に関する形式的な差を考えたものである。 Khovanskii と Pukhlikov [PK92a; PK92b] により導入されたのが最初なのだろうか。

• virtual polytope

有限体上の polytope という概念も考えることができる。Monson と Schulte の [MS04; MS07] など。

Polytope に構造を追加したものもある。例えば, H. Sakai [Sak13] は, stacky polytope という構造を考えている。Torus の作用を持つ symplectic smooth stack を考えるためである。

• stacky fan
• stacky polytope

References

[ABL17]

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[And70]

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