(∞,∞)-Category or (∞,ω)-Category

無限に高次の morphism を持ち \((n+1)\)次以上の morphism が (up to homotopy で) invertible であるような 高次の圏を \((\infty ,n)\)-category と呼ぶが, \(n\to \infty \) とすると morphism の invertibility を要求しない無限に高次の morphism を持つ高次の圏の概念が得られる。 \((\infty ,\infty )\)-category と呼ばれたりするが, Loubaton [Loub; Louc; Loua] は, \((\infty ,\omega )\)-category と呼ぶことを提案している。 その理由は, strict な場合が古くから \(\omega \)-category という名前で考えられていて, その homotopical version だからのようである。

正確には, \((\infty ,n)\)-category の \((\infty ,1)\)-category を \(\enriched {(\infty ,n)}{\category {Cat}}\) とかいたとき,

という列の limit として \((\infty ,\omega )\)-category の \((\infty ,1)\)-category を定義する。

ただし, この MathOverflow の質問に対する Schommer-Pries の回答にあるように, この列で用いる functor には, 2つの選択肢がある。包含

は left adjoint と right adjoint を持ち, どちらの functor で limit を取るかで, 2種類の \((\infty ,\omega )\)-category が定義されるわけである。

Loubaton [Loub; Louc; Loua] は, right adjoint の方を用いているが left adjoint を用いた場合については, 何が分っているのだろうか?

References

[Loua]

Félix Loubaton. Categorical Theory of \((\infty ,\omega )\)-Categories. arXiv: 2406.05425.

[Loub]

Félix Loubaton. The complicial model of \((\infty ,ω)\)-categories. arXiv: 2207.08504.

[Louc]

Félix Loubaton. Theory and models of \((\infty ,\omega )\)-categories. Doctral Thesis, Université Côte D’Azur. arXiv: 2307.11931.