Link Homologies

Khovanov [Kho00; Kho02; Bar02] は, Khovanov homology と呼ばれる Jones polynomialcategorification を構成することに成功した。

  • Khovanov homology

その動機や背景などについては, Khovanov と Lipshitz の [KL23] で説明されている。その動機は Witten-Reshetikhin-Turave invariant が 4次元の TQFT にリフトする, という Crane と Frenkel の予想 [CF94] だったようである。

Khovanov homology や knot Floer homology などの knot (link) homology については, Gukov の [GSV05; Guk+10; Guk] などがある。特に, [Guk] では surface operator を持つ \(4\) 次元の topological gauge theory がこの手の homology の natural framework であると言っていて興味深い。 Triangulated category への braid 群の作用も重要な役割を果しているようである。そして, Witten の [Wit12] が出た。これでKhovanov homology の完全な物理学的な解釈が得られたことになるのだろうか。

とにかく, 現在では Khovanov homology や類似の “knot (link) homology” の研究がとても盛んである。

Khovanov homology の解説としては, Paul Turner の [Tur17] がある。Khovanov homology も, homology というからにはfunctorになっていてほしい。実際, link や tangle の cobordism category の上の functor として構成しているのが, Clark と Morrison と Walker の [CMW09] である。

Turner は, Khovanov homology を計算する spectral sequence を構成 [Tur06; Tur08] している。また MacKaay と一緒 [MT07] に Khovanov homology を単純化した Bar-Natan の theory を調べている。解説としては, その Bar-Natan の [Bar02; Bar05] が分りやすい。[Bar05] では, Kapranov と Voevodsky の \(2\)-vector space の定義と同じ方法で cobordism category の matrix category (categorification) を定義し, それに topological quantum field theory を合成することにより complex を作っている。Naot [Nao06] は, その quantum field theory を取り換えることによる効果を考え, universal な quantum field theory を提案している。Khovanov 自身による解説としては, ICM 2006 の Proceeding の [Kho06] がある。

Khovanov homology と Hochschild homology の関係も発見されている。Przytycki の [Prz10] である。

Kronheimer と Mrowka は, [KM11b] で unknot や trefoil の場合に knot group の \(\mathrm {SU}(2)\) への準同形で, ある条件をみたすもの全体の成す空間のホモロジー群が, Khovanov homology と似ていることを指摘している。彼らは, より一般の \(3\)次元多様体の中の link に対し instanton Floer homology を定義し, Khovanov homology と関係があることを予想している。その後, [KM11a] で reduced Khovanov cohomology から instanton Floer homology に収束する spectral sequence を構成し, それにより reduced Khovanov cohomology が自明な knot を detect することを示している。

Khovanov homology の variation として, Lee が [Lee05] て定義したものがある。それを用いて Rasmussen [Ras10] が新しい不変量を定義している。

  • Rasmussen の不変量

Link に対しては HOMFLY polynomial とその categorification である, Khovanov-Rozansky homology がある。

他にも, Khovanov-Rozansky homology と knot Floer homology を統合するという, Dunfield と Gukov と Rasmussen の試み [DGR06] や向き付けられた曲面上の tangle の Khovanov 風ホモロジー [APS04; APS06] など, この分野は活発である。

Knot Floer homology は, Ozsváth と Szabó により, [OS04b] で定義された knot complement の Lagrangian Floer homology に基づいて Rasmussen の thesis [Ras03] と Ozsváth と Szabó [OS04a] により導入されたものである。 Dunfield と Gukov と Rasmussen の試みは, Khovanov-Rozansky homology と knot Floer homology の関係を調べるという自然な疑問から発生したものである。

このように, Khovanov-Rozansky homology と symplectic geometry との関連が明かになるにつれ, Khovanov-Rozanski homology を symplectic なデータから定義しようという試みも現われた。Seidel と Smith の [SS06] や, その拡張である Manolescu の [Man07] である。

一般化や変種も色々考えられている。

  • virtual knot に対する Khovanov homology の一般化 [Man]
  • tangle に対する Khovanov homology の一般化 (Bar-Natan の [Bar05] や Lauda と Pfeiffer の [LP09])

Khovanov の最初の構成 [Kho00] は, Lie algebra \(\mathfrak {sl}_2\) に関係したものである。Khovanov は, [Kho04b] では \(\mathfrak {sl}_3\) に基づいた link homology を構成している。Mackaay と Vaz は [MV07] で universal \(\mathfrak {sl}_3\)-link homology を構成 している。このように, Lie algebra \(\mathfrak {sl}_n\) とその standard representation から様々な link homology が得られるが, 他の Lie algebra や表現を用いることもできる, らしい。

更に, Khovanov は [Kho04a] では, Khovanov homology の center と Springer variety の cohomology の関係について述べている。 またいくつかの予想を立てている。Khovanov homology と Lie環の表現論との関係は, いわゆる Riemann-Hilbert correspondence を通して, flag variety \(G/P\) 上の perverse sheaf の圏に関係していて興味深い。 例えば, Stroppel の [Str09] を見るとよい。

\(\mathfrak {sl}_2\) の場合の categorification としては, ある smooth projective variety 上の \(\bbC ^{\times }\)-equivariant coherent sheaf の derived category を使うものもある。Cautis と Kamnitzer の [CK08a] である。\(\mathfrak {sl}_m\) への一般化 [CK08b] も行われている。

代数的トポロジーの視点からは, Lipshitz と Sarkar の構成 [LS14] が興味深い。彼等は, そのホモロジーが Khovanov homology に同型になる spectrumを構成した。

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