Preorders

半順序から反対称律を外したものを preorder と呼ぶ。 日本語ではどう呼ぶのが普通なのか, 良く知らない。 直訳では「前順序」だろうが, 全順序と読みが同じになってしまうので困る。

Yokura の [Yok20] では, preorder を持つ集合が proset と呼ばれているが, 半順序を持つ集合を poset と呼ぶことと対応するので, 良いと思う。集合の圏の pro-object を同時に扱うときには困るが。

基本的な性質として, まず

として関係 \(\sim \) を定義すると同値関係になり, その同値類の集合が poset になる, ということがある。

また, finite \(T_0\)-space と finite poset の間の対応は Alexandroff space と proset の対応に拡張できる, という事実も重要である。

• Alexandroff space
• Alexandroff space の圏と proset の圏は同値

他に preorder が登場する場面として, 以下のものがある。

• semigroup から作られる proset (Green の [Gre51])
• directed algebraic topology などで使われる preordered space (prospace)
• preordered group の圏の構造の研究 [CMM19; GM21; GM; Mic; Mic26]

References

[CMM19]

Maria Manuel Clementino, Nelson Martins-Ferreira, and Andrea Montoli. “On the categorical behaviour of preordered groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 223.10 (2019), pp. 4226–4245. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2019.01.006.

[GM]

Marino Gran and Aline Michel. Central extensions of preordered groups. arXiv: 2303.03970.

[GM21]

Marino Gran and Aline Michel. “Torsion theories and coverings of preordered groups”. In: Algebra Universalis 82.2 (2021), Paper No. 22, 30. arXiv: 2005.07937. url: https://doi.org/10.1007/s00012-021-00709-6.

[Gre51]

J. A. Green. “On the structure of semigroups”. In: Ann. of Math. (2) 54 (1951), pp. 163–172. url: https://doi.org/10.2307/1969317.

[Mic]

Aline Michel. The stable category of preordered groups. arXiv: 2309.11953.

[Mic26]

Aline Michel. “A Hopf formula for the fundamental group in the category of preordered groups”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 67.1 (2026), pp. 35–57. url: https://cahierstgdc.com/wp-content/uploads/2026/04/Michel_LXVII-I.pdf.

[Yok20]

Shoji Yokura. “Decomposition spaces and poset-stratified spaces”. In: Tbilisi Math. J. 13.2 (2020), pp. 101–127. arXiv: 1912.00339. url: https://doi.org/10.32513/tbilisi/1593223222.