Preorders

半順序から反対称律を外したものを preorder と呼ぶ。 日本語ではどう呼ぶのが普通なのか, 良く知らない。 直訳では「前順序」だろうが, 全順序と読みが同じになってしまうので, 良くないと思う。 Yokura の [Yok20] では, proset と呼ばれているので, それがいいように思う。このページでは, proset と呼ぶことにする。

基本的な性質として, まず \[ x\sim y \Longleftrightarrow x\le y \text{ and } y\le x \] として関係 \(\sim \) を定義すると同値関係になり, その同値類の集合が poset になる, ということがある。

また, finite \(T_0\)-space と finite poset の間の対応は Alexandroff space と proset の対応に拡張できる, という事実も重要である。

• Alexandroff space
• Alexandroff space の圏と proset の圏は同値

他に proset が登場する場面として, 以下のものがある。

• semigroup から作られる proset (Green の [Gre51])
• directed algebraic topology

References

[Gre51]

J. A. Green. “On the structure of semigroups”. In: Ann. of Math. (2) 54 (1951), pp. 163–172. url: https://doi.org/10.2307/1969317.

[Yok20]

Shoji Yokura. “Decomposition spaces and poset-stratified spaces”. In: Tbilisi Math. J. 13.2 (2020), pp. 101–127. arXiv: 1912.00339. url: https://doi.org/10.32513/tbilisi/1593223222.