Virtual Polytopes

位相空間の \(K\)-theory を勉強した人は, virtual と聞くと virtual vector bundle が頭に浮ぶかもしれない。 有限 rank の vector bundle の成す可換 monoid の Grothendieck group の元という意味である。

このページのタイトルの virtual polytope の virtual も同様の意味で, 有限次元実ベクトル空間 \(V\) の中の 凸多面体が, Minkowski sum で成す可換 monoid の Grothendieck group の元のことである。

最初は, convex polytope の finitely additive measure の研究を一般化するために Khovanskii と Pukhlikov [PK92] により考えられたようである。

解説としては Panina と Streinu による [PS15] があるが, そこでは, McMullen の polytope algebra [McM89] での役割を考慮して, Minkowski 和を \(\otimes \) で表している。

• polytope algebra

Khovanskii の lecture notes [Kho23] もあるが, 残念ながら証明は書かれていない。

興味深いのは, virtual polytope に対して, 面が定義できることである。 よって face poset が定義できる。

• face of virtual polytope

Panina は [Pan15] で cyclopermutohedron という permutohedron の変種を導入している。 それらは convex polytope としては実現できないが virtual polytope としては実現できるようである。

Minkowski 和に関する Grothendieck group の中の lattice polytope の成す部分群は, Cha, Friedl, Funke の [CFF17] や Funke の [Fun21] などで調べられている。

References

[CFF17]

Jae Choon Cha, Stefan Friedl, and Florian Funke. “The Grothendieck group of polytopes and norms”. In: Münster J. Math. 10.1 (2017), pp. 75–81. arXiv: 1512 . 06699. url: https://doi.org/10.17879/33249451813.

[Fun21]

Florian Funke. “The integral polytope group”. In: Adv. Geom. 21.1 (2021), pp. 45–62. arXiv: 1605.01217. url: https://doi.org/10.1515/advgeom-2019-0029.

[Kho23]

A. G. Khovanskii. “Geometry of generalized virtual polyhedra”. In: J. Math. Sci. (N.Y.) 269.2, Problems in mathematical analysis. No. 121 (2023), pp. 256–268. arXiv: 2210.01070.

[McM89]

Peter McMullen. “The polytope algebra”. In: Adv. Math. 78.1 (1989), pp. 76–130. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(89)90029-7.

[Pan15]

Gaiane Yu. Panina. “Cyclopermutohedron”. In: Proc. Steklov Inst. Math. 288 (2015). Published in Russian in Tr. Mat. Inst. Steklova 288 (2015), 149–162, pp. 132–144. arXiv: 1401 . 7476. url: https://doi.org/10.1134/S0081543815010101.

[PK92]

A. V. Pukhlikov and A. G. Khovanskiı̆. “The Riemann-Roch theorem for integrals and sums of quasipolynomials on virtual polytopes”. In: Algebra i Analiz 4.4 (1992), pp. 188–216.

[PS15]

G. Yu. Panina and I. Streı̆nu. “Virtual polytopes”. In: Uspekhi Mat. Nauk 70.6(426) (2015), pp. 139–202. url: https://doi.org/10.4213/rm9639.