Braid群の一般化や関連した群

Braid群 \(\mathrm {Br}_n\) の一般化として, トポロジーの視点からは, Euclid空間以外の空間の configuration space基本群がすぐに思いつくものである。例えば, グラフを\(1\)次元の cell complex とみなし, その configuration space の基本群を考えることができる。それをグラフの braid 群という。

曲面のbraid群については, 例えば Bardakov ら[Bar+12] により Brunnian braid が調べられている。

曲面とグラフの両方に関係した braid 群の変種として, Bökstedt と Romão [BR] の divisor braid がある。

  • divisor braid

3次元以上の単連結な多様体 \(M\) に対しては configuration space が単連結であることは, fibration \[ \mathrm {Conf}_{n-1}(M\setminus \{\ast \}) \rarrow {} \mathrm {Conf}_n(M) \rarrow {} M \] からすぐ分かる。ただ, そのような多様体に対しても, configuration space の幾何学的に意味のある subspace として, 単連結でないものが存在したりする。 複素射影空間の場合を, Berceanu と Parveen [BP12a; BP12b] が調べている。

グラフを特異点を持つ1次元多様体と考えると, グラフの braid 群と曲面の braid 群の共通の一般化として2次元単体的複体や胞体複体の braid 群が考えられる。 もちろん, より高次元の単体的複体の braid 群も考えられるが, An と Park の [AP17] によると, 任意の次元の単体的複体に対し, braid 群が同型になる2次元の単体的複体が取れるようである。

幾何学的なものでは, 種数 \(0\) の実代数曲線の moduli space の Deligne-Mumford compactification \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}(\R )}\) の基本群がある。 Henriques と Kamnitzer の [HK06] では cactus group と呼ばれている。

  • cactus group \(J_n\) と pure cactus group \(PJ_n\)

この名前は, \(\mathcal {M}_{0,n}(\R )\) の元を円周 (\(\RP ^1\)) 上に\(n\)個の marked point が付いたものとみなしたとき, \(\overline {\mathcal {M}_{0,n}(\R )}\) の元がそれらをいくつか接するようにくっつけたもので, ウチワサボテンのような形をしているからである。

Henriques と Kamnitzer の発見は, braid group が braided monoidal category と 関係しているように, cactus group が coboundary category と関係していることである。

Braid 群を \(x_i-x_j=0\) という形の超平面全てを集めた超平面配置 (braid arrangement) あるいは対称群に付随するものと考え, より一般に reflection arrangement や reflection group に対して braid 群の拡張を定義することも考えられている。 [BS72; Bri73] など。 より一般に Coxeter diagram から定義される Artin group がある。群ではなく, monoid を生成すると braid monoid とか Artin monoid と呼ばれるものができる。 更に, complex reflection groupから定義される complex braid group もある。

  • Artin group
  • braid monoid あるいは Artin monoid
  • dual braid monoid [Bes03]
  • complex braid group

また, cactus group を他の reflection group に一般化することも考えられている。Davis と Januszkiewicz と Scott により [DJS03] で mock reflection group の名前で導入された。例えば, Losev の [Los19] などで登場する。 Chmutov と Glick と Pylyavskyy [CGP20] は, cactus groupと Berenstein と Kirillov の仕事 [KB95]で登場する群 (Berenstein-Kirillov group) との関係を発見している。

他にも様々なものがある。例えば, 以下のようなもの:

Right-angled Artin groupとグラフのbraid群については, 共に グラフから定義されるbraid群に類似の群ということで, その関係は気になるところである。現在の状況については, [KKP12] を見るとよい。

自由群の automorphism group と pure braid group の中間に位置する群として, “trivial link の motion group” として解釈できる群がある。Jensen と McCammond と Meier の [JMM06] では \(P\Sigma _n\) と書かれ, その integral cohomology が調べられている。そこでは [MM04] を参照するように書かれている。

Loday と Stein は, [LS05] で parametrized braid group の概念を導入し, それが Steinberg group と braid group の半直積になることを示している。

Braid群と他の群の半直積になっている群としては, framed braid group がある。 Ko と Smolinsky により [KS92] で導入された。 これは \(\Z ^n\) と \(\mathrm {Br}_n\) の半直積である。Tillmann の [Til00] や Zhang の [Zha] では, ribbon braid group と呼ばれている。 \((\Z /p^r\Z )^n\)と\(\mathrm {Br}_n\)の半直積で \(r\rightarrow \infty \) とすると \(p\)-adic framed braid が得られる。 Juyumaya と Lambropoulou の [JL07; JL13] などで調べられている。

  • framed braid group あるいは ribbon braid group
  • \(p\)-adic framded braid group

他の群と組み合せたものとしては, Fedoseev, Manturov, Cheng の [FMC]で導入された \(G\)-braid groupがある。

  • \(G\)-braid group

Woolf は, [Woo09] で stratified space に対して, 基本群に対応する fundamental category を定義している。 その中で \(\bbC \) の symmetric product の fundamental category を調べているが, その morphism として, 紐の終点が異なってなくてもよい braid の一般化が現 われる。Braid category とでも言うべきものである。Braid群の一般化として自然な方向であり興味深い。

定義から, braid 群 \(\mathrm {Br}_{n}\) の pure braid群 \(\mathrm {PB_r}_n\) による商群は \(n\)次対称群 \(\Sigma _n\) になる。他にも braid群の商群は, 様々な場合が調べられている。 Goncalves と Guaschi と Ocampo [GGO] の Introduction を見るとよい。彼等自身は braid群の pure braid群の交換子による商群 \(\mathrm {Br}_n/[\mathrm {PBr}_n,\mathrm {PBr}_n]\) を調べ, それが crystallographic group になることを示している。

全く別の方向への一般化としては, Rouquier [Rou06] による categorified braid group がある。

References

[AB16]

Daniel Allcock and Tathagata Basak. “Geometric generators for braid-like groups”. In: Geom. Topol. 20.2 (2016), pp. 747–778. arXiv: 1403.2401. url: https://doi.org/10.2140/gt.2016.20.747.

[All09]

Daniel Allcock. “A monstrous proposal”. In: Groups and symmetries. Vol. 47. CRM Proc. Lecture Notes. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, pp. 17–24. arXiv: math/0606043. url: https://doi.org/10.1090/crmp/047/03.

[AP17]

Byung Hee An and Hyo Won Park. “On the structure of braid groups on complexes”. In: Topology Appl. 226 (2017), pp. 86–119. arXiv: 1508.03699. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2017.05.001.

[Bar+12]

Valery G. Bardakov, Roman Mikhailov, Vladimir V. Vershinin, and Jie Wu. “Brunnian braids on surfaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.3 (2012), pp. 1607–1648. arXiv: 0909 . 3387. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2012.12.1607.

[Bar06]

V. G. Bardakov. “The braid group of a genetic code”. In: Algebra Logika 45.2 (2006), pp. 131–158, 252. arXiv: math/0603397. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10469-006-0007-6.

[BC12]

P. Bellingeri and A. Cattabriga. “Hilden braid groups”. In: J. Knot Theory Ramifications 21.3 (2012), pp. 1250029, 22. arXiv: 0909. 4845. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218216511009534.

[Bes03]

David Bessis. “The dual braid monoid”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 36.5 (2003), pp. 647–683. arXiv: math/0101158. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ansens.2003.01.001.

[BH13]

Tara E. Brendle and Allen Hatcher. “Configuration spaces of rings and wickets”. In: Comment. Math. Helv. 88.1 (2013), pp. 131–162. arXiv: 0805.4354. url: https://doi.org/10.4171/CMH/280.

[BP12a]

Barbu Berceanu and Saima Parveen. “Braid groups in complex projective spaces”. In: Adv. Geom. 12.2 (2012), pp. 269–286. arXiv: 1002.2291. url: https://doi.org/10.1515/advgeom.2011.048.

[BP12b]

Barbu Berceanu and Saima Parveen. “Fundamental group of Desargues configuration spaces”. In: Studia Sci. Math. Hungar. 49.3 (2012), pp. 348–365. arXiv: 1102.1790. url: https://doi.org/10.1556/SScMath.49.2012.3.1210.

[BR]

Marcel Bökstedt and Nuno M. Romão. Divisor braids. arXiv: 1605. 07921.

[Bri73]

Egbert Brieskorn. “Sur les groupes de tresses [d’après V. I. Arnol\('\)d]”. In: Séminaire Bourbaki, 24ème année (1971/1972), Exp. No. 401. Berlin: Springer, 1973, 21–44. Lecture Notes in Math., Vol. 317.

[BS72]

Egbert Brieskorn and Kyoji Saito. “Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen”. In: Invent. Math. 17 (1972), pp. 245–271.

[CGP20]

Michael Chmutov, Max Glick, and Pavlo Pylyavskyy. “The Berenstein-Kirillov group and cactus groups”. In: J. Comb. Algebra 4.2 (2020), pp. 111–140. arXiv: 1609 . 02046. url: https://doi.org/10.4171/JCA/36.

[DJS03]

M. Davis, T. Januszkiewicz, and R. Scott. “Fundamental groups of blow-ups”. In: Adv. Math. 177.1 (2003), pp. 115–179. arXiv: math/0203127. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(03)00075-6.

[DL03]

P. Dehornoy and Y. Lafont. “Homology of Gaussian groups”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 53.2 (2003), pp. 489–540. arXiv: math/0111231. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2003__53_2_489_0.

[DP99]

Patrick Dehornoy and Luis Paris. “Gaussian groups and Garside groups, two generalisations of Artin groups”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 79.3 (1999), pp. 569–604. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611599012071.

[FMC]

Denis Fedoseev, Vassily Manturov, and Zhiyun Cheng. On Marked Braid Groups. arXiv: 1507.02700.

[GGO]

Daciberg Lima Gonçalves, John Guaschi, and Oscar Ocampo. Quotients of the Artin braid groups and crystallographic groups. arXiv: 1503.04527.

[HK06]

André Henriques and Joel Kamnitzer. “Crystals and coboundary categories”. In: Duke Math. J. 132.2 (2006), pp. 191–216. arXiv: math/0406478. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13221-0.

[JL07]

J. Juyumaya and S. Lambropoulou. “\(p\)-adic framed braids”. In: Topology Appl. 154.8 (2007), pp. 1804–1826. arXiv: math/0604228. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2007.01.010.

[JL13]

Jesús Juyumaya and Sofia Lambropoulou. “\(p\)-adic framed braids II”. In: Adv. Math. 234 (2013). With an appendix by Paul Gérardin, pp. 149–191. arXiv: 0905.3626. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.10.011.

[JMM06]

Craig Jensen, Jon McCammond, and John Meier. “The integral cohomology of the group of loops”. In: Geom. Topol. 10 (2006), pp. 759–784. arXiv: 0903.0140. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2006.10.759.

[Jor09]

David Jordan. “Quantum \(D\)-modules, elliptic braid groups, and double affine Hecke algebras”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 11 (2009), pp. 2081–2105. arXiv: 0805.2766.

[Kam94]

Seiichi Kamada. “A characterization of groups of closed orientable surfaces in \(4\)-space”. In: Topology 33.1 (1994), pp. 113–122. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(94)90038-8.

[KB95]

A. N. Kirillov and A. D. Berenstein. “Groups generated by involutions, Gel\('\) fand-Tsetlin patterns, and combinatorics of Young tableaux”. In: Algebra i Analiz 7.1 (1995), pp. 92–152.

[KKP12]

Jee Hyoun Kim, Ki Hyoung Ko, and Hyo Won Park. “Graph braid groups and right-angled Artin groups”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.1 (2012), pp. 309–360. arXiv: 0805.0082. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2011-05399-7.

[KL06]

Louis H. Kauffman and Sofia Lambropoulou. “Virtual braids and the \(L\)-move”. In: J. Knot Theory Ramifications 15.6 (2006), pp. 773–811. arXiv: math/0507035. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218216506004750.

[KS92]

Ki Hyoung Ko and Lawrence Smolinsky. “The framed braid group and \(3\)-manifolds”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 115.2 (1992), pp. 541–551.

[KV94]

M. Kapranov and V. Voevodsky. “Braided monoidal \(2\)-categories and Manin-Schechtman higher braid groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 92.3 (1994), pp. 241–267. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)90097-3.

[Los19]

Ivan Losev. “Cacti and cells”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 21.6 (2019), pp. 1729–1750. arXiv: 1506.04400. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/871.

[LS05]

Jean-Louis Loday and Michael R. Stein. “Parameterized braid groups of Chevalley groups”. In: Doc. Math. 10 (2005), 391–416 (electronic). arXiv: math/0212206.

[MM04]

Jon McCammond and John Meier. “The hypertree poset and the \(\ell ^{2}\)-Betti numbers of the motion group of the trivial link”. In: Math. Ann. 328.4 (2004), pp. 633–652. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-003-0499-5.

[MPS]

Sandro Manfredini, Saima Parveen, and Simona Settepanella. Braid groups in complex spaces. arXiv: 1209.2839.

[MS89]

Yu. I. Manin and V. V. Schechtman. “Arrangements of hyperplanes, higher braid groups and higher Bruhat orders”. In: Algebraic number theory. Vol. 17. Adv. Stud. Pure Math. Boston, MA: Academic Press, 1989, pp. 289–308.

[Rou06]

Raphaël Rouquier. “Categorification of \(\mathfrak {sl}_{2}\) and braid groups”. In: Trends in representation theory of algebras and related topics. Vol. 406. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, pp. 137–167. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/406/07657.

[Taw08]

Stephen Tawn. “A presentation for Hilden’s subgroup of the braid group”. In: Math. Res. Lett. 15.6 (2008), pp. 1277–1293. arXiv: 0706.4421. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2008.v15.n6.a16.

[Til00]

Ulrike Tillmann. “Higher genus surface operad detects infinite loop spaces”. In: Math. Ann. 317.3 (2000), pp. 613–628. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00004416.

[Woo09]

Jon Woolf. “The fundamental category of a stratified space”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 359–387. arXiv: 0811.2580.

[Zha]

Wenbin Zhang. Group Operads and Homotopy Theory. arXiv: 1111. 7090.