グラフのbraid群

グラフの braid群とは, グラフの (\(1\)次元 CW複体としての) configuration space の 基本群として定義される群である。Kim と Ko と Park の [KKP12] によると, Ghrist により [Ghr01] で定義されたらしい。Ghrist の motivation は, ロボットの motion planning だったようである。

• グラフの configuration space

文献としては, Ghrist のものの他に Abrams の thesis [Abr00] がある。 グラフの configuration space については, Abrams と Ghrist の [AG02] がある。

実際に群の表示を求める手法もいくつかある。Kurlin の [Kur12] によると, Abrams の thesis の方法と Farley と Sabalka [FS05; FS12] の discrete Morse theory による方法など。

本質的な頂点が2個以下のグラフの 2 strand braid group は, 2013年3月の向山の信州大学での修士論文で, totally normal cellular stratified space を用いてその表示が求められている。Discrete Morse theory を用いなくてもよいところが他の人の方法と比べたときの利点である。 そこで用いられている totally normal cellular stratified space の性質も含め [FMT15] という論文にまとめた。 その続編として, 2015年9月の夘之原の信州大学の修士論文がある。頂点が1個 の場合であるが, 任意の \(n\) に対し \(n\) strand graph braid group を決定した。 創刊されたばかりの, 大学院生などを対象とした雑誌の第1号に [Uno16] として出版された。

Scrimshaw [Scr] は, グラフの braid群と Euclid空間の braid群の関係を色々調べている。使っている道具は, また, Abrams の model と discrete Morse theory である。

グラフの braid群のコホモロジーはまだよく分かっていないようである。 Tree の場合は, Farley ら [FS08; Far07] により調べられているようであるが。 \(1\)次元のホモロジーについては, Ko と Park の [KP12] がある。 Betti 数については, Scrimshaw [Scr] が first Betti 数を調べている。また, An, Drummond-Cole, Knudsen [ADK22] は Betti 数の asymptotic formula を得ている。

グラフから作られる群としては, right-angled Artin group もある。

• right-angled Artin group

Ghrist は, グラフの braid群と同型になると予想したが, そこまでこの二つの群の関係は単純ではないようである。詳しくは, Kim と Ko と Park の [KKP12] や Sabalka の [Sab07] を見るとよい。

このような無限離散群は, geometric group theory の研究対象であるが, 不思議なことに, graph braid group をそのような視点から調べたのは Genevois [Gen21] が最初のようである。その後 [Ber; App+] などの研究が登場している。

References

[Abr00]

Aaron Abrams. “Configuration Spaces and Braid Groups of Graphs”. PhD thesis. University of California at Berkeley, 2000. url: http://www.math.uga.edu/~abrams/research/papers/thesis.ps.

[ADK22]

Byung Hee An, Gabriel C. Drummond-Cole, and Ben Knudsen. “Asymptotic homology of graph braid groups”. In: Geom. Topol. 26.4 (2022), pp. 1745–1771. arXiv: 2005 . 08286. url: https://doi.org/10.2140/gt.2022.26.1745.

[AG02]

Aaron Abrams and Robert Ghrist. “Finding topology in a factory: configuration spaces”. In: Amer. Math. Monthly 109.2 (2002), pp. 140–150. arXiv: math/0009118. url: http://dx.doi.org/10.2307/2695326.

[App+]

B. Appiah et al. The algebraic structure of hyperbolic graph braid groups. arXiv: 2403.08623.

[Ber]

Daniel Berlyne. Graph of groups decompositions of graph braid groups. arXiv: 2209.03860.

[Far07]

Daniel Farley. “Presentations for the cohomology rings of tree braid groups”. In: Topology and robotics. Vol. 438. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 145–172. arXiv: math/ 0610424. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/438/08451.

[FMT15]

Mizuki Furuse, Takashi Mukouyama, and Dai Tamaki. “Totally normal cellular stratified spaces and applications to the configuration space of graphs”. In: Topol. Methods Nonlinear Anal. 45.1 (2015), pp. 169–214. arXiv: 1312.7368. url: http://dx.doi.org/10.12775/TMNA.2015.010.

[FS05]

Daniel Farley and Lucas Sabalka. “Discrete Morse theory and graph braid groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 5 (2005), pp. 1075–1109. arXiv: math/0410539. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2005.5.1075.

[FS08]

Daniel Farley and Lucas Sabalka. “On the cohomology rings of tree braid groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.1 (2008), pp. 53–71. arXiv: math/0602444. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.04.011.

[FS12]

Daniel Farley and Lucas Sabalka. “Presentations of graph braid groups”. In: Forum Math. 24.4 (2012), pp. 827–859. arXiv: 0907. 2730. url: http://dx.doi.org/10.1515/form.2011.086.

[Gen21]

Anthony Genevois. “Negative curvature in graph braid groups”. In: Internat. J. Algebra Comput. 31.1 (2021), pp. 81–116. arXiv: 1912. 10674. url: https://doi.org/10.1142/S0218196721500053.

[Ghr01]

Robert Ghrist. “Configuration spaces and braid groups on graphs in robotics”. In: Knots, braids, and mapping class groups—papers dedicated to Joan S. Birman (New York, 1998). Vol. 24. AMS/IP Stud. Adv. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2001, pp. 29–40. arXiv: math/9905023.

[KKP12]

Jee Hyoun Kim, Ki Hyoung Ko, and Hyo Won Park. “Graph braid groups and right-angled Artin groups”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.1 (2012), pp. 309–360. arXiv: 0805.0082. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2011-05399-7.

[KP12]

Ki Hyoung Ko and Hyo Won Park. “Characteristics of graph braid groups”. In: Discrete Comput. Geom. 48.4 (2012), pp. 915–963. arXiv: 1101.2648. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-012-9459-8.

[Kur12]

Vitaliy Kurlin. “Computing braid groups of graphs with applications to robot motion planning”. In: Homology Homotopy Appl. 14.1 (2012), pp. 159–180. arXiv: 0908 . 1067. url: http://dx.doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n1.a8.

[Sab07]

Lucas Sabalka. “Embedding right-angled Artin groups into graph braid groups”. In: Geom. Dedicata 124 (2007), pp. 191–198. arXiv: math/0506253. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10711-006-9101-0.

[Scr]

Travis Scrimshaw. Embeddings of right-angled Artin groups. arXiv: 1010.6286.

[Uno16]

Takeshi Unohara. “Configuration spaces of graphs”. In: The Graduate Student Mathematical Diary 1.1 (2016), pp. 28–42. url: http://www.gsmd.tn/article/configuration-spaces-of-graphs/.