Equivariant Stable Homotopy Theory

現代的な spectrum の圏で考えると, 群の作用を考えるのも楽である。 というより, EKMMのスペクトラム [Elm+97] の定義は, May とその共同研究者による equivariant stable homotopy theory の研究に端を発していると言った方が正確である。その研究は, Lewis, May, Steinberger の [Lew+86] にまとめられている。より現代的な扱いとしては, Mandell と May の [MM02] がある。

• compact Lie群 \(G\) に対し \(G\)-equivariant spectrum の成す symmetric monoidal model category

もちろん, 通常の spectrum に EKMM のものや symmetric spectrum, orthogonal spectrum, といった様々なモデルがあるように, equivariant spectrum のモデルも様々なものが提案されている。最近でも, Mandell と May の equivariant orthogonal spectrum の精密化が, Bohmann [Boh14] により提案されている。May らの方法は, 通常の spectrum の \(\Z \) による添 字付けを \(G\) の表現による添字付けに拡張するものである。よって universe と呼ばれる \(G\)の表現の成す category を用いる。別のアプローチとして, Hovey と White [HW] は, 通常の orthogonal spectrum で \(G\)作用を持つものを \(G\)-spectrum として考えることを提案している。 Equivariant orthogonal spectrum については, Brun, Dundas, Stolz の [BDS] の Chapter 2 にまとめがある。

• equivariant orthogonal spectrum

最近 equivariant orthogonal spectrum が使われた例としては, Hill, Hopkins, Ravenel による Kervaire invariant one 問題の (1つの場合を除いての) 解決である。その200ページを超える論文 [HHR16] の半分は, equivariant orthogonal spectrum とその homotopy category に関する appendix になっている。

Symmetric spectrum を用いたものとしては, Hausmann の [Hau17] がある。

現代的な spectrum が導入されたのは, spectrum の category に symmetric monoidal structure を定義するためだったが, symmetric monoidal structure があると, (可換) monoid が定義できる。つまり (commutatie) ring spectrum である。 よって, equivariant spectrum の category でも ring spectrum が定義できる。 一方, 古典的な Lewis, May, Steinberger のアプローチ [Lew+86] では operad を用いて記述されている。 これらの関係とその問題点については, Blumberg と Hill の [BH15] の Introduction を読むとよい。

逆に, このような洗練された spectrum ではなく, 古いスタイルの equivariant stable homotopy の解説としては, Adams の [Ada84] がある。

Equivariant spectrum に関する基本的な構成として以下のようなものがある。

• homotopy orbit spectrum \(X_{hG}\)
• homotopy fixed point spectrum \(X^{hG}\)
• norm map \(X_{hG} \longrightarrow X^{hG}\)
• Burnside ring の ideal に関する completion

Burnside ring の ideal に関する completion は, Greenlees と May により [GM92] で導入されたものである。その元となったのは, Burnside ring に関する Segal 予想の研究である。

• Burnside ring に関する Segal 予想

Equivariant な setting での Nishida の nilpotence theorem の類似は, Iriye [Iri83] により示されている。

Spectrum があれば, infinite loop space を考えたくなるが, それについては May, Merling, Osorno の [MMO] の Introduction and Preliminaries を読むとよい。

• equivariant infinite loop space

群が 有限巡回群や \(S^1\) の場合は, topological Hochschild homology や topological cyclic homology の構成に現れる。 その構造を一般化して cyclotomic spectrum という概念が定義されている。 Blumberg と Mandell の [BM15]や Angeltveit らの [Ang+18] などを読むとよい。

• cyclotomic spectrum

Profinite group の作用を考えることもできるが, いろいろ工夫しないといけない。Daniel Davis の [Dav06b] や Fausk の [Fau08a] など。

Daniel Davis は, Bousfield と Friedlander の simplicial spectrum [BF78] で, (simplicial set の) 各次元で discrete な \(G\) の作用を持つものを, discrete \(G\)-spectrum と呼んで, それを用いて homotopy fixed point spectrum の構成などを考えている。

• discrete \(G\)-spectrum の圏の モデル構造 [Dav06a; Dav08]

Fausk は, 表現論の induction theorem の一般化を [Fau08b] で考えている。

Rational stable homotopy も equivariant に考えると面白いと主張しているのは, Greenlees [Gre08] である。

• equivariant rational stable homotopy theory

\(G=\Z _2\) の場合は, Atiyah の Real \(K\)-theory を一般化した Real oriented spectrum を考えることができる。

• Real-oriented cohomology theories

Equivariant stable homotopy category でも chromatic 現象を考えることができるが, それについては, Behrens と Carlisle の [BC] の Introduction が, よくまとまっている。

• equivariant chromatic stable homotopy theory

様々な群の作用を同時に考えることもできる。Schwede が global homotopy theory というタイトルで本 [Sch18] を書いている。 そこでは, 群は compact Lie群で, 使われているspectrum は orthogonal spectrum であるが, 有限群なら symmetric spectrum を用いて global equivariant stable homotopy category が構築できる, と言っているのは Markus Hausmann [Hau19] である。

• global equivariant stable homotopy theory

Equivariant spectrum の積について考えたものとして, Lewis と May と Steinberger の [Lew+86] がある。これは 現代的な spectrum の元となった仕事でもある。ところが, Blumberg と Hill [BH15] が指摘しているように, \(G\)-operad で, その \(G\)作用を忘れた operad が \(E_{\infty }\)-operad になっているものは, たくさんある。Lewis-May-Steinberger が用いた \(G\)-equivariant linear isometries operad はその一つに過ぎないわけである。 そこで, Blumberg と Hill は, Hopkins と Hill と Ravenel の [HHR16] で用いられている良い性質を基準として \(N_{\infty }\)-operad を定義し, それを用いて \(E_{\infty }\)-ring spectrum の equivariant 版を定義している。

References

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