Lie群および関連した空間のホモトピー論

最初に Lie 群のホモトピー論的性質を研究したのは誰か, 私にはよく分らないが, 初期の重要な結果として Bott の研究 [Bot56; Bot58] を挙げるべきだということは確かだろう。Bott は, Lie 群の loop 空間が Lie 群に関し有用な情報を持っていることに着目した。

[Bot58] では, 古典群に関する有名な結果が証明されている。

• Bott の周期性 (Bott periodicity)。 つまり, generating map が同型 \[ \colim _n \pi _i(\mathrm{BU}(n)) \rarrow{\cong } \colim _n \pi _{i+1}(\mathrm{SU}(n)) \] を誘導すること。よって同型 \[ \colim _n \pi _i(U(n)) \cong \colim _n \pi _{i+2}(\mathrm{SU}(n)) \] を得る。
• \(\pi _{2n}(U(n)) \cong \Z /n!Z\)
• 以上の結果の直交群 \(O(n)\), および symplectic 群 \(\mathrm{Sp}(n)\) に関する類似。

このように, 古典群については安定ホモトピー群という概念があり, Bott の研究により完全に決定されている。これは \(K\) 理論との関連で重要である。

Bott periodicity の証明には, その後いくつもの別証が得られている。

有限次元の \(\colim \) ではない, 無限次元の Hilbert 空間の unitary 群そのものについては, Kuiper の定理 [Kui65] により, ホモトピー群は自明であることが分っている。

• 無限次元 Hilbert 空間の unitary 群は可縮である。

有限次元 Lie 群のホモトピー群は, 日本人が中心になって調べられているが, 古典群の場合も含めて, 完全に決定されたものは無い (\(U(1)=\mathrm{SO}(2)\) を除いて)。 有限複体のホモトピー群なので。 \(v_1\) 周期的ホモトピー群は Don Davis を中心に研究されていて, 完全に決定されたようである。

• \(G\)が単純で単連結なLie群なら
  \begin{eqnarray*} \pi _2(G) & \cong & 0 \\ \pi _3(G) & \cong & \Z \end{eqnarray*}
  となる。
• 有限次元 Lie 群の \(v_1\) 周期的ホモトピー群
• \(\Ima J\) と Adams 予想

Lie群の安定ホモトピー型については, まずは H. Miller による \(U(n)\) の stable splitting [Mil85] がある。

• \(U(n)\) の stable splitting。より一般に complex Stiefel manifold の stable splitting。[Cra87]
• Kichloo による Miller の分解の stable summand の研究。 [Kit01]
• complex Stiefel manifold の loop 空間上の Mitchell-Richter filtration の定義, およびそれが stable に split すること。[Cra87; Aro01]

Lie 群の (安定ホモトピーではない) ホモトピー型を考えるときに, その胞体分割を考えるのは自然である。それについて扱った本として [横田一78] がある。Morse 理論を用いて compact Lie 群の胞体分割を見付けることを目標にしている。関連した話題として, Lie 群の Lusternik-Schirelman categoryの計算がある。

• compact Lie 群の胞体分割
• Lie群の Lusternik-Schnirelmann category

Gómez-Tato と Macías-Virgós と Pereira-Sáez の [GMP] では Cayley transform という写像を用いて Lusternik-Schnirelmann category が調べられている。

Kac-Moody 群についてのホモトピー論からの研究としては [BK02] がある。

もう一つのホモトピー論の関係として framed manifold としての Lie 群がある。Framed cobordism は stable homotopy 群であるから, Lie 群は球面の stable homotopy 群の元を与える。古くからあるアイデアであり, [Smi74; Woo76; Kna78; BS78; Oss82] といった研究がある。最近でも Tilman Bauer [Bau04] などが研究している。もっとも Bauer が調べているのは \(p\)-compact group であるが。

Bauer は compact Lie 群の場合の Atiyah duality や Adams equivalence が成り立つことも示している。 それを更に推し進めたのが Rognes の [Rog] である。

A. Adem とF. Cohen は discrete group \(\pi \) から Lie群 \(G\) への準同型の成す空間 \(\Hom (\pi ,G)\) のホモトピー論的な性質の研究を [AC07] で始 めた。この種の空間は, 様々な場面で登場する。

• 離散群から Lie 群への準同形の成す空間

References

[AC07]

Alejandro Adem and Frederick R. Cohen. “Commuting elements and spaces of homomorphisms”. In: Math. Ann. 338.3 (2007), pp. 587–626. arXiv: math/0603197. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-007-0089-z.

[Aro01]

Greg Arone. “The Mitchell-Richter filtration of loops on Stiefel manifolds stably splits”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 129.4 (2001), 1207–1211 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-00-05794-4.

[Bau04]

Tilman Bauer. “\(p\)-compact groups as framed manifolds”. In: Topology 43.3 (2004), pp. 569–597. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2003.09.002.

[BK02]

Carles Broto and Nitu Kitchloo. “Classifying spaces of Kac-Moody groups”. In: Math. Z. 240.3 (2002), pp. 621–649. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002090100391.

[Bot56]

Raoul Bott. “An application of the Morse theory to the topology of Lie-groups”. In: Bull. Soc. Math. France 84 (1956), pp. 251–281. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1956__84__251_0.

[Bot58]

Raoul Bott. “The space of loops on a Lie group”. In: Michigan Math. J. 5 (1958), pp. 35–61. url: http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1028998010.

[BS78]

J. C. Becker and R. E. Schultz. “Fixed-point indices and left invariant framings”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), I. Vol. 657. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1978, pp. 1–31.

[Cra87]

M. C. Crabb. “On the stable splitting of \(\mathrm{U}(n)\) and \(\Omega \mathrm{U}(n)\)”. In: Algebraic topology, Barcelona, 1986. Vol. 1298. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1987, pp. 35–53. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0082999.

[GMP]

A. Gómez-Tato, E. Macı́as-Virgós, and M. J. Pereira-Sáez. Trace map, Cayley transform and LS category of Lie groups. arXiv: 0907.0751.

[Kit01]

Nitu Kitchloo. “Cohomology splittings of Stiefel manifolds”. In: J. London Math. Soc. (2) 64.2 (2001), pp. 457–471. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024610701002216.

[Kna78]

K. Knapp. “Rank and Adams filtration of a Lie group”. In: Topology 17.1 (1978), pp. 41–52.

[Kui65]

Nicolaas H. Kuiper. “The homotopy type of the unitary group of Hilbert space”. In: Topology 3 (1965), pp. 19–30.

[Mil85]

Haynes Miller. “Stable splittings of Stiefel manifolds”. In: Topology 24.4 (1985), pp. 411–419. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(85)90012-6.

[Oss82]

Erich Ossa. “Lie groups as framed manifolds”. In: Topology 21.3 (1982), pp. 315–323. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(82)90013-1.

[Rog]

John Rognes. Stably dualizable groups. arXiv: math/0502184.

[Smi74]

Larry Smith. “Framings of sphere bundles over spheres, the plumbing pairing, and the framed bordism classes of rank two simple Lie groups”. In: Topology 13 (1974), pp. 401–415.

[Woo76]

R. M. W. Wood. “Framing the exceptional Lie group \(G_2\)”. In: Topology 15.4 (1976), pp. 303–320.

[横田一78]

横田一郎. 多様体とモース理論. 京都: 現代数学社, 1978.