Lie群および関連した空間のコホモロジー

Lie群および, その分類空間の(コ)ホモロジーについては, 日本人の代数的トポロジストが色々調べている。 古い結果については, 戸田-三村の本 [戸三78; 戸三79; MT91] にまとめられている。特に, 古典群の分類空間のコホモロジーは, 特性類との関連で基本的な道具である。

• 古典群の(コ)ホモロジー
• 古典群の分類空間の(コ)ホモロジー
• 例外群の(コ)ホモロジー
• 例外群の分類空間のコホモロジー

例外群の分類空間のコホモロジーについては, まだ完全に決定されていない場合がある。 Lie群とその分類空間の(コ)ホモロジーがどこまで決定されているか調べ, まとめておくとよいと思う。

分類空間を取る操作の“逆”がloop空間を取る操作であるが, Lie群のloop 空間のホモロジーは扱い易いことが知られている。

• \(G\) が連結単連結 compact Lie群 なら \(\Omega G\) のホモロジーは, torsion free であり, 偶数次元の元しか持たない。[Bot56]
• Axis map \[ \CP ^n \longrightarrow \Omega U(n) \] の定義。
• Axis map が同型 \[ \mathrm {Symm}(H_*(\CP ^n)) \rarrow {\cong } H_*(\Omega \mathrm {SU}(n)) \] を誘導すること。ただし \(\mathrm {Symm}\) は free commutative algebra を意味する。
• \(H_*(\Omega \mathrm {SU}(n))\) の Hopf algebra の構造。
• Generating map \[ U(2n)/U(n)\times U(n) \longrightarrow \Omega \mathrm {SU}(2n) \] の定義。
• 上の generating map は \((2n+1)\) 次元までのホモロジーの同型を誘導する。

Bott は, [Bot56] で \(\Omega G_2\) のホモロジーも調べている。 Lie群の (多重) loop 空間 \(\Omega ^kG\) のホモロジーについても, 何がどこまで分っているかまとめておくとよいと思う。

Lie群をその閉部分群で割った homogeneous space のコホモロジーも重要である。 特に, 特別な部分群の場合には代数的にきれいに表わされることが多い。

• flag manifold \(G/B\) の cohomology は Weyl 群の coinvarinat として書ける。

Lie群 \(G\) の分類空間のコホモロジーと, \(G\) の位相を忘れた, つまり離散位相を入れた群 \(G^{\delta }\) の分類空間のコホモロジーの関係を調べることを, Milnor [Mil83] が提案している。Milnor は正標数の体を係数とすると, 同型になることを予想していて, Milnor 予想と呼ばれている。

• Lie 群のコホモロジーに関する Milnor 予想

この「正標数」という条件は, Lie群を \(\R \) という標数 \(0\) の体上で定義された代数群とみなすと納得できる。 つまり, 定義されている標数と異なる標数を係数とするということである。 この視点から, Friedlander は, 代数群に対する類似の予想を提案している。 Friedlander-Milnor 予想と呼ばれている。

• Friedlander-Milnor 予想

Friedlander の [Fri08] によると, 1970年代前半から考えていたようである。 \(\mathbb {A}^{1}\)-homotopy theory からのアプローチについては, Morel の [Mor11] を見るとよい。 現在の状況については, この MathOverflow での議論を見るのがよい。

Ordinary cohomology が分かったら, 次は \(K\)-theory だろうか。まず, Hodgkin [Hod67] により compact semisimple Lie 群の \(K\)-theory は, 外積代数であることが示されている。その Fourier-Mukai transform を用いた別証が Baraglia と Hekmati の [BH15] にある。

他の 一般コホモロジーについても, いくつか計算例がある。例えば, Morava \(K\)-theory については, Mimura と Nishimoto の [MN02] がある。

以上は, 代数的トポロジーの視点からの(コ)ホモロジーである。 代数の視点からは別の(コ)ホモロジーが提案されている。 有限群 (離散群) のコホモロジーでは, \(G\)-module \(M\) に係数を持つ, ホモロジー代数的に定義されたコホモロジーと分類空間 \(BG\) の 局所係数の特異コホモロジーが同型になるが, その類似を考えようとすると \(G\) の位相も考慮した \(G\)-module を考えないといけない。 つまり, \(G\)が連続的に作用するtopological Abelian group である。 そのような Lie群のコホモロジーも考えられている。 Wockel [Woc] によると, 1950年代に van Est により調べられたようである。

この二つのコホモロジーを統一する枠組みとして Wagemann と Wockel が [WW15] で導入したものがある。それ以前には, Segal [Seg70], Deligne [Del74], Moore [Moo76], Cattaneo [Cat77], Brylinski [Bry], Flach [Fla08] などの試みがある。

Brylinski [Bry] は differentiable cohomology と呼んでいるが, 最近は同じような名前で別のものを指すことが多い。 Wockel [WW15; Woc] は topological group cohomology と呼んでいるが, その方が良いだろう。

• Lie群の topological group cohomology

References

[BH15]

David Baraglia and Pedram Hekmati. “A Fourier-Mukai approach to the \(K\)-theory of compact Lie groups”. In: Adv. Math. 269 (2015), pp. 335–345. arXiv: 1406.3993. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.10.019.

[Bot56]

Raoul Bott. “An application of the Morse theory to the topology of Lie-groups”. In: Bull. Soc. Math. France 84 (1956), pp. 251–281. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1956__84__251_0.

[Bry]

Jean-Luc Brylinski. Differentiable Cohomology of Gauge Groups. arXiv: math/0011069.

[Cat77]

U. Cattaneo. “On locally continuous cocycles”. In: Rep. Mathematical Phys. 12.1 (1977), pp. 125–132. url: https://doi.org/10.1016/0034-4877(77)90053-2.

[Del74]

Pierre Deligne. “Théorie de Hodge. III”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 44 (1974), pp. 5–77. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__44__5_0.

[Fla08]

M. Flach. “Cohomology of topological groups with applications to the Weil group”. In: Compos. Math. 144.3 (2008), pp. 633–656. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07003338.

[Fri08]

Eric M. Friedlander. “The Friedlander-Milnor conjecture”. In: Enseign. Math. (2) 54.1-2 (2008), pp. 94–96. url: http://doi.org/10.5169/seals-109901.

[Hod67]

Luke Hodgkin. “On the \(K\)-theory of Lie groups”. In: Topology 6 (1967), pp. 1–36. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(67)90010-9.

[Mil83]

J. Milnor. “On the homology of Lie groups made discrete”. In: Comment. Math. Helv. 58.1 (1983), pp. 72–85. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02564625.

[MN02]

Mamoru Mimura and Tetsu Nishimoto. “Hopf algebra structure of Morava \(K\)-theory of the exceptional Lie groups”. In: Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000). Vol. 293. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 195–231. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/293/04949.

[Moo76]

Calvin C. Moore. “Group extensions and cohomology for locally compact groups. III”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 221.1 (1976), pp. 1–33. url: https://doi.org/10.2307/1997540.

[Mor11]

Fabien Morel. “On the Friedlander-Milnor conjecture for groups of small rank”. In: Current developments in mathematics, 2010. Int. Press, Somerville, MA, 2011, pp. 45–93.

[MT91]

Mamoru Mimura and Hirosi Toda. Topology of Lie groups. I, II. Vol. 91. Translations of Mathematical Monographs. Translated from the 1978 Japanese edition by the authors. Providence, RI: American Mathematical Society, 1991, pp. iv+451. isbn: 0-8218-4541-1.

[Seg70]

Graeme Segal. “Cohomology of topological groups”. In: Symposia Mathematica, Vol. IV (INDAM, Rome, 1968/69). London: Academic Press, 1970, pp. 377–387.

[Woc]

Christoph Wockel. Topological group cohomology of Lie groups and Chern-Weil theory for compact symmetric spaces. arXiv: 1401.1037.

[WW15]

Friedrich Wagemann and Christoph Wockel. “A cocycle model for topological and Lie group cohomology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 367.3 (2015), pp. 1871–1909. arXiv: 1110.3304. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-06107-2.

[戸三78]

戸田宏 and 三村護. リー群の位相(上). Vol. 14-A. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1978.

[戸三79]

戸田宏 and 三村護. リー群の位相(下). Vol. 14-B. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1979.