Simplicial Category

Simplicial category とは, simplicial set の圏により enrichされた圏のことである。

Simplicial category は, モデル圏の文献 (例えば [Hov99; Hir03]) によく登場する。その理由は, Dwyer と Kan による, simplicial category を用いたモデル圏の homotopy category の 構成 [DK80b] にある。そしてその基礎となっているのが, 一般の category の simplicial localization [DK80c; DK80a] である。

• category の simplicial localization
• model category の simplicial homotopy category

Object の集合を決めたときの simplicial category の category の model structure については, Dwyer と Kan が定義している。

Object の集合を定めない simplicial category の category の model structure については, Bergner の [Ber07] がある。

Simplicial category に対しては, nerve construction の拡張として simplicial nerve construction がある。また homotopy coherent nerve construction という構成もある。Hinich の [Hin] によると, homotopy coherent nerve construction は Cordier [Cor82] によるらしい。

• simplicial nerve
• homotopy coherent nerve

Simplicial category が便利なのは, このように既存の category theory での概念の “homotopy化”ができることである。例えば, locally presentable category のhomotopy化を Rosicky [Ros07] が考えている。

• homotopy locally presentable simplicial category

Simplicial category の category と model category として同値なものとして以下のようなものの category がある:

• quasicategory
• complete Segal space
• Segal category

つまり, simplicial category の成す model category は, homotopy theory of homotopy theories として使えるということである。

Stable quasicategory を enhanced triangulated category として用いることができることから, “stable simplcial category” という概念が定義でき, enhance triangulated category として用いることができるはずである。実際, それは Toën と Vezzosi の [TV04] の “Final Comments” に書かれている。

• stable simplicial category

Bubenik [Bub12] や Raussen [Rau10] は, 並列処理の理論に使うことを考えている。

References

[Ber07]

Julia E. Bergner. “A model category structure on the category of simplicial categories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.5 (2007), pp. 2043–2058. arXiv: math/0406507. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-06-03987-0.

[Bub12]

Peter Bubenik. “Simplicial models for concurrency”. In: Proceedings of the Workshop on Geometric and Topological Methods in Computer Science (GETCO). Vol. 283. Electron. Notes Theor. Comput. Sci. Elsevier Sci. B. V., Amsterdam, 2012, pp. 3–12. arXiv: 1011.6599. url: https://doi.org/10.1016/j.entcs.2012.05.002.

[Cor82]

Jean-Marc Cordier. “Sur la notion de diagramme homotopiquement cohérent”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 23.1 (1982). Third Colloquium on Categories, Part VI (Amiens, 1980), pp. 93–112.

[DK80a]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Calculating simplicial localizations”. In: J. Pure Appl. Algebra 18.1 (1980), pp. 17–35. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90113-9.

[DK80b]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Function complexes in homotopical algebra”. In: Topology 19.4 (1980), pp. 427–440. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(80)90025-7.

[DK80c]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Simplicial localizations of categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 17.3 (1980), pp. 267–284. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90049-3.

[Hin]

V. Hinich. Simplicial nerve in Deformation theory. arXiv: 0704.2503.

[Hir03]

Philip S. Hirschhorn. Model categories and their localizations. Vol. 99. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, pp. xvi+457. isbn: 0-8218-3279-4.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[Rau10]

Martin Raussen. “Simplicial models of trace spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.3 (2010), pp. 1683–1714. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.1683.

[Ros07]

J. Rosický. “On homotopy varieties”. In: Adv. Math. 214.2 (2007), pp. 525–550. arXiv: math/0509655. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.02.011.

[TV04]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “A remark on \(K\)-theory and \(S\)-categories”. In: Topology 43.4 (2004), pp. 765–791. arXiv: math/0210125. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00080-6.