次元論

普通, 日本の大学の学部の位相空間論の講義では, 次元論は扱わないだろう。 線形代数でベクトル空間の次元を扱うぐらいである。 大抵のトポロジーの授業で, Euclid 空間と関連づけられる空間 (単体的複体, CW複体, 多様体など) しか扱わない理由の一つがこれである。

• 多様体の次元
• 単体的複体の次元
• CW複体の次元

一般の位相空間でも次元を定義することができるが, 残念ながら統一したものはないようである。

• 被覆次元 (covering dimension)
• large inductive dimension
• small inductive dimension
• コホモロジー次元 (cohomological dimension)
• ホモトピー次元 (homotopy dimension)
• Hausdorff 次元

普通使うのは, 最初の三つぐらいだろう。 代数的トポロジーを専攻するならコホモロジー次元も知っておきたい。 Hausdorff 次元については, Tao の blog に詳しい解説がある。

ホモトピー次元は, 直感的にはホモトピー同値で何次元まで次元を下げられるか, ということを測るものであるが, CW 複体のような良い空間以外では, 正確な定義を述べるのは容易ではない。 Lurie は, [Lur09] の §7.2.1 で \(\infty \)-topos に対しホモトピー次元を定義し, Kan complex \(X\) 上の simplicial set の成す comma category の \(\infty \)-topos のホモトピー次元と, 幾何学的実現 \(|X|\) が何次元まで潰せるか, ということの関係を調べている。また paracompact Hausdorff 空間上 のsheaf の成す \(\infty \)-topos のホモトピー次元と covering dimension が一致することも示している。

Hausdorff 次元は fractal などを調べるのに使われるが, そのような複雑な形をした領域を調べるために, MacPherson と Schweinhart [MS12] は P.H. (Persistent Homology) 次元というものを定義している。

• P.H. dimension

Alonso [Alob] によると, 有限距離空間に対しては \(0\) になるので, 有限集合で近似して Hausdorff 次元を調べるということは難しい。 Alonso は, 有限距離空間に対し finite Hausdorff dimension を定義し, それを用いることを提案している。また [Aloa] では, 有限グラフの finite Hausdorff dimension を調べている。

• finite Hausdorff dimension

他にも様々な試みがあり, 例えば Gromov は [Gro93] で metric space に対し asymptotic dimension を定義している。Gromov の motivation は discrete group を調べることにあったようであるが。この asymptotic dimension は Novikov 予想などに対し有効らしく, 興味深い。Asymptotic dimension には Dranishnikov が定義したもの [Dra00] もある。それらを統一的に扱おうというのが Brodskiy と Dydak の [BD08b] である。解説としては, Bell と Dranishnikov の [BD08a] がある。

関連したものとして, Assouad-Nagata dimension や asymptotic Assouad-Nagata dimension [BDL14] などがある。 Dranishnikov は [Dra09] で asymptotic cohomology の概念を導入し, asymptotic cohomological dimesion を定義している。

• asymptotic dimension
• Assouad-Nagata dimension
• asymptotic Assouad-Nagata dimension
• asymptotic cohomological dimension

Asymptotic dimension の一般化として, Guentner と Tessera と Yu [GTY12] の decomposition complexity というのもある。

• decomposition complexity

もちろん, 代数でもKrull次元など次元の概念が考えられている。これら, 様々な分野の次元について, Manin の survey [Man06] が面白い。 Tao の blog のこの記事やそのコメントも面白い。

References

[Aloa]

Juan M. Alonso. A finite Hausdorff dimension for graphs. arXiv: 1607.08130.

[Alob]

Juan M. Alonso. A Hausdorff dimension for finite sets. arXiv: 1508. 02946.

[BD08a]

G. Bell and A. Dranishnikov. “Asymptotic dimension”. In: Topology Appl. 155.12 (2008), pp. 1265–1296. arXiv: math/0703766. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2008.02.011.

[BD08b]

N. Brodskiy and J. Dydak. “Coarse dimensions and partitions of unity”. In: Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat. Ser. A Mat. RACSAM 102.1 (2008), pp. 1–19. arXiv: math / 0506547. url: https://doi.org/10.1007/BF03191809.

[BDL14]

N. Brodskiy, J. Dydak, and U. Lang. “Assouad-Nagata dimension of wreath products of groups”. In: Canad. Math. Bull. 57.2 (2014), pp. 245–253. arXiv: math/0611331. url: https://doi.org/10.4153/CMB-2013-024-8.

[Dra00]

A. N. Dranishnikov. “Asymptotic topology”. In: Uspekhi Mat. Nauk 55.6(336) (2000), pp. 71–116. url: http://dx.doi.org/10.1070/rm2000v055n06ABEH000334.

[Dra09]

A. Dranishnikov. “Cohomological approach to asymptotic dimension”. In: Geom. Dedicata 141 (2009), pp. 59–86. arXiv: math/0608215. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10711-008-9343-0.

[Gro93]

M. Gromov. “Asymptotic invariants of infinite groups”. In: Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991). Vol. 182. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993, pp. 1–295.

[GTY12]

Erik Guentner, Romain Tessera, and Guoliang Yu. “A notion of geometric complexity and its application to topological rigidity”. In: Invent. Math. 189.2 (2012), pp. 315–357. arXiv: 1008.0884. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-011-0366-z.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Man06]

Yuri I. Manin. “The notion of dimension in geometry and algebra”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 43.2 (2006), 139–161 (electronic). arXiv: math / 0502016. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-06-01081-0.

[MS12]

Robert MacPherson and Benjamin Schweinhart. “Measuring shape with topology”. In: J. Math. Phys. 53.7 (2012), pp. 073516, 13. arXiv: 1011.2258. url: https://doi.org/10.1063/1.4737391.