Homology of Algebraic Structures Defined by Crossed Simplicial Groups

cyclic homology は, 巡回群の列を用いて定義されるが, 巡回群の列は crossed simplicial group を成す。 このことに気がつくと, cyclic homology の定義を, 他の crossed simplicial group に対し拡張したくなる。 実際, そのような homology は各種定義され, 調べられている。 Fiedorowicz と Loday の [FL91] で crossed simplicial group を理解してから, それらの定義を見ると分かりやすいかもしれない。

まず, Loday により [Lod87] で定義された dihedral homology や quaternionic homology がある。

• dihedral homology
• quaternionic homology

Lodder [Lod90; Lod96] により cyclic homology と類似の性質を持つことが示されている。例えば, algebraic \(K\)-theory と cyclic homology の関係は, Hermitian \(K\)-theory と dihedral homology の関係に翻訳できる。

Dihedral homology は, Conant, Kassabov, Vogtmann の Kontsevich graph complex (の拡張) の研究 [CKV15] でも現れる。

対称群の成す crossed simplicial group に基づいて定義された symmetric homology もある。 Ault と Fiedorowicz の [AF] で定義された。 Ault の thesis [Aul08; Aul10] に詳しく書かれている。

• symmetric category \(\Delta S\)
• symmetric homology

Ault の [Aul14] では, symmetric homology の元になっている chain complex が \(E_{\infty }\)-algebra の構造を持つことが示されている。よって symmetric homology は, 無限ループ空間の homology と類似の構造を持つことになり, homology operation を持つことが分かる。

他に, hyperoctahedral homology というものも考えられている。 Fiedorowicz の preprint [Fie] で導入され, Graves により [Gra22] で詳しく調べられている。

• hyperoctahedral homology

Graves は [Gra] で Ault の symmetirc homology に関する結果の類似が成り立つことを示している。特に, homology operation を持つ。

References

[AF]

Shaun Ault and Zbigniew Fiedorowicz. Symmetric Homology of Algebras. arXiv: 0708.1575.

[Aul08]

Shaun Van Ault. On the symmetric homology of algebras. Thesis (Ph.D.)–The Ohio State University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2008, p. 166. isbn: 978-0549-77712-0. arXiv: 0807.4521.

[Aul10]

Shaun V. Ault. “Symmetric homology of algebras”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.4 (2010), pp. 2343–2408. arXiv: 0902.1274. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.2343.

[Aul14]

Shaun V. Ault. “Homology operations in symmetric homology”. In: Homology Homotopy Appl. 16.2 (2014), pp. 239–261. arXiv: 0904. 1023. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n2.a13.

[CKV15]

James Conant, Martin Kassabov, and Karen Vogtmann. “Higher hairy graph homology”. In: Geom. Dedicata 176 (2015), pp. 345–374. arXiv: 1308.3825. url: https://doi.org/10.1007/s10711-014-9972-4.

[Fie]

Z. Fiedorowicz. The symmetric bar construction. url: https://people.math.osu.edu/fiedorowicz.1/symbar.ps.gz.

[FL91]

Zbigniew Fiedorowicz and Jean-Louis Loday. “Crossed simplicial groups and their associated homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 326.1 (1991), pp. 57–87. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001855.

[Gra]

Daniel Graves. E-infinity structure in hyperoctahedral homology. arXiv: 2108.05154.

[Gra22]

Daniel Graves. “Hyperoctahedral homology for involutive algebras”. In: Homology Homotopy Appl. 24.1 (2022), pp. 1–26. arXiv: 2011. 03427. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2022.v24.n1.a1.

[Lod87]

Jean-Louis Loday. “Homologies diédrale et quaternionique”. In: Adv. in Math. 66.2 (1987), pp. 119–148. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(87)90032-6.

[Lod90]

Gerald M. Lodder. “Dihedral homology and the free loop space”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 60.1 (1990), pp. 201–224. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/s3-60.1.201.

[Lod96]

Jerry M. Lodder. “Dihedral homology and Hermitian \(K\)-theory”. In: \(K\)-Theory 10.2 (1996), pp. 175–196. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00536611.