Crossed Simplicial Group

Crossed simplicial group とは, 誤解を恐れずに言うと, simplicial object を定義するときの small category \(\Delta \) と simplicial group を合せたような small category のことである。 Fiedorowicz と Loday により [FL91] で定義された。 Dyckerhoff と Kapranov の [DK15] では, Krasauskas の [Kra87] も挙げられているので, 歴史的には, Krasauskas によって, 最初に発見されたというべきだろう。 もっとも, この Krasauskas のリトアニアの雑誌の論文を実際読んだことのある人は, ほとんどいないだろうし, Fiedorowicz と Loday が知らなくても仕方ない, と思う。

ホモトピー論では, Berrick と Cohen と Wong と Wu の [Ber+06] などで使われている。

Fiedorowicz と Loday の原論文 [FL91] も読み易くて良いが, 現在では Dyckerhoff と Kapranov の [DK15] から始めるのが良いと思う。Krasauskas の結果も書かれているので。

例としては, Connes の cyclic category がある。これが, 元々の Fiedorowicz と Loday の動機だった。 Simplicial group から生成したものも典型的な例である。

このようなものに対しては, cyclic homology の一般化が考えられている。

• crossed simplicial group から定義される代数的構造の homology

Stern [Ste] は, topological field theory を構成するのに使おうとしている。

Dyckerhoff と Kapranov [DK15] によると, Krasauskas や Fiedorowicz と Loday の結果により, crossed simplicial group は 7つの class に分類される。 その7つのclass の基本となるものは fundamental crossed simplicial group と呼ばれている次の7つのものである。

• trivial crossed simplicial group
• reflexive crossed simplicial group
• cyclic crossed simplicial group
• dihedral crossed simplicial group
• symmetric crossed simplicial group
• reflexosymmetric crossed simplicial group
• Weyl crossed simplicial group

Dyckerhoff と Kapranov は, cyclic type と dihedral type のものを合せて, planar crossed simplicial group と呼んでいる。

• planar crossed simplicial group

その名前は, \(O(2)\) や \(\GL _{2}(\R )\) の connective cover を planar Lie group と呼び, それらに関係していることに由来しているようである。

Balchin [Bal18] は, compact planar Lie group の作用を持つ site 上の simplicial presheaf の圏の model structure を定義するのに用いている。

Dold-Kan correspoindence の拡張は, Can Kaya と Kaygun の [KK] で考えられている。

References

[Bal18]

Scott Balchin. “Homotopy of planar Lie group equivariant presheaves”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 13.3 (2018), pp. 555–580. arXiv: 1608. 07238. url: https://doi.org/10.1007/s40062-017-0193-z.

[Ber+06]

A. J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong, and J. Wu. “Configurations, braids, and homotopy groups”. In: J. Amer. Math. Soc. 19.2 (2006), pp. 265–326. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-05-00507-2.

[DK15]

T. Dyckerhoff and M. Kapranov. “Crossed simplicial groups and structured surfaces”. In: Stacks and categories in geometry, topology, and algebra. Vol. 643. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, pp. 37–110. arXiv: 1403.5799. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/643/12896.

[FL91]

Zbigniew Fiedorowicz and Jean-Louis Loday. “Crossed simplicial groups and their associated homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 326.1 (1991), pp. 57–87. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001855.

[KK]

Atabey Kaygun and Haydar Can Kaya. A Dold-Kan Equivalence for Crossed Simplicial Groups. arXiv: 2402.19291.

[Kra87]

R. Krasauskas. “Skew-simplicial groups”. In: Litovsk. Mat. Sb. 27.1 (1987), pp. 89–99.

[Ste]

Walker H. Stern. Structured Topological Field Theories via Crossed Simplicial Groups. arXiv: 1603.02614.