ホモトピー論的代数幾何学

代数多様体, より正確には scheme の圏でホモトピー論を行なう, というアイデアが, Grothendieck が motif の理論を考える動機であったようである。

「ホモトピー論代数幾何学」と言う用語があるのかどうか知らないが, ホモトピー論的手法と代数幾何学の融合については, この Grothendieck のアイデアを実現する Voevodsky らの motivic homotopy theory [MV99] の他にも, 可換環の圏を symmetric monoidal model category に一般化して代数幾何学の類似を行うという Lurie や Toën らの仕事がある。より古くは étale homotopy theory もある。

• étale homotopy theory
• Voevodsky の motivic homotopy theory
• Toën, Vezzosi, Lurie らの derived algebraic geometry

可換環の圏を symmetric monoidal model category に取り替えるというアイデアは, ホモロジー代数的構成の spectrum の圏での類似が色々できることから考えても妥当であるし, 興味深い。

Artin-Mazur の étale homotopy theory では, Grothendieck の étale fundamental group の高次化である étale homotopy group を定義することができるが, 基本群については, Nori [Nor76] による group scheme としての構成もある。Nori は [Nor82] でその unipotent completion を導入しているが, その高次ホモトピー群への拡張が, Mondal と Reinecke [MR] により導入されている。

• unipotent homotopy theory of schemes

また, dg category を scheme 上の quasi-coherent sheaf の成す derived category の類似と考え, dg category のホモトピー論を scheme のホモトピー論の非可換版と考える立場もある。Tabuada [Tab12] によると, このアプローチは Bondal と Kapranov の [BK89; BK90] が 起源のようである。

他にも非可換代数幾何学と呼ばれるものは, 色々ある。

• 非可換代数幾何学

References

[BK89]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Representable functors, Serre functors, and reconstructions”. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 53.6 (1989), pp. 1183–1205, 1337.

[BK90]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”. In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.

[MR]

Shubhodip Mondal and Emanuel Reinecke. Unipotent homotopy theory of schemes. arXiv: 2302.10703.

[MV99]

Fabien Morel and Vladimir Voevodsky. “\(\mathbf {A}^1\)-homotopy theory of schemes”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 90 (1999), 45–143 (2001). url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1999__90__45_0.

[Nor76]

Madhav V. Nori. “On the representations of the fundamental group”. In: Compositio Math. 33.1 (1976), pp. 29–41. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1976__33_1_29_0.

[Nor82]

Madhav V. Nori. “The fundamental group-scheme”. In: Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 91.2 (1982), pp. 73–122. url: https://doi.org/10.1007/BF02967978.

[Tab12]

Gonçalo Tabuada. “A guided tour through the garden of noncommutative motives”. In: Topics in noncommutative geometry. Vol. 16. Clay Math. Proc. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2012, pp. 259–276. arXiv: 1108.3787.