Flag多様体

古典的な flag 多様体は, Grassmann 多様体の一般化であり, 例えば複素数体上では \(d_1+\cdots +d_m=n\) となる自然数の列 \((d_1,\ldots , d_m)\) に対し, \(\bbC ^n\) の中の部分ベクトル空間の列 \[ 0=V_0\subset V_1\subset \cdots \subset V_m = \bbC ^n \] で \(\dim V_1/V_0 = d_1\), \(\ldots \), \(\dim V_m/V_{m-1}=d_m\) となるもの成す空間 \(\mathrm{Fl}_n(d_1,\ldots ,d_m)\) を考え, これを (partial) flag 多様体という。 \(d_1=\cdots =d_m = 1\) の場合を complete flag 多様体と言い, \(\mathrm{Fl}_n\) と表わす。

これは, \(\GL _n(\bbC )\) のある部分群による商空間として表わされることから, 一般に Lie群 (代数群) \(G\) とその Borel subgroup \(B\) に対し, \(G/B\) も flag 多様体と言う。

Flag 多様体は Schubert cell による stratificationを持つ。Schubert cell の flag 多様体での閉包として得られるのが, Schubert variety と呼ばれる代数多様体である。

• Schubert cell と Schubert variety

これについては, Brion の解説 [Bri] を見るとよい。

\(G=\GL _n(\bbC )\) の場合, Schubert cell は対称群の元と一対一に対応している。一方, complete flag variety \(\mathrm{Fl}_n\) のコホモロジーは \[ H^*(\mathrm{Fl}_n;\Z ) \cong \Z [x_1,\ldots ,x_n]/I_n \] と表わされることが分かっている。ここで \(I_n\) は定数項を持たない symmetric polynomial で生成されたイデアルである。この表示と Schubert cell による表示との関連は, もちろん, 興味深い問題であるが, これについては, Bernstein と Gelfand と Gelfand [BGG73] で解決されている。

その後, Lascoux と Schützenberger が [LS82] で Schubert cell で代表される Schubert class を表わす Schubert polynomial というものを発見している。

\(\mathrm{Fl}_n\) は, quantum cohomology も分かっているが, それと Schubert cell との関係, そして Schubert polynomial の quantum version については, Fomin と Gelfand と Postnikov の [FGP97] で解決された。

\(\mathrm{Fl}_n\) は, quantum \(K\)-theory も分かっている。Kirillov と Maeno によるらしい。Lenart と Maeno の [LM] は, quantum Schubert polynomial の理論を quantum \(K\)-theory に拡張しようという試みである。

Yakimov の [Yak10] によると, De Concini と Kac と Procesi [DKP95] により定義された Weyl 群の元に対応する quantum group の subalgebra は, Schubert cell 上の regular function の成す環の Poisson structure の quantum deformation とみなすことができるようである。 Bell と Casteels と Launois の [BCL] では, これらの algebra は quantum Schubert cell と呼ばれている。

関連した空間として Springer variety がある。[RT] の Introduction を読むとどのようなことに関連しているかが分かる。

Grassmann多様体の場合の totally nonnegative part の flag版 もある。Rietsch ら [Rie06; RW08] により調べられている。

References

[BCL]

Jason Bell, Karel Casteels, and Stéphane Launois. Primitive ideals in quantum Schubert cells: dimension of the strata. arXiv: 1009.1347.

[BGG73]

I. N. Bernšteı̆n, I. M. Gel\('\)fand, and S. I. Gel\('\)fand. “Schubert cells, and the cohomology of the spaces \(G/P\)”. In: Uspehi Mat. Nauk 28.3(171) (1973), pp. 3–26.

[Bri]

Michel Brion. Lectures on the geometry of flag varieties. arXiv: math/0410240.

[DKP95]

C. De Concini, V. G. Kac, and C. Procesi. “Some quantum analogues of solvable Lie groups”. In: Geometry and analysis (Bombay, 1992). Bombay: Tata Inst. Fund. Res., 1995, pp. 41–65.

[FGP97]

Sergey Fomin, Sergei Gelfand, and Alexander Postnikov. “Quantum Schubert polynomials”. In: J. Amer. Math. Soc. 10.3 (1997), pp. 565–596. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-97-00237-3.

[LM]

C. Lenart and T. Maeno. Quantum Grothendieck Polynomials. arXiv: math/0608232.

[LS82]

Alain Lascoux and Marcel-Paul Schützenberger. “Polynômes de Schubert”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 294.13 (1982), pp. 447–450. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/088/1000001.

[Rie06]

K. Rietsch. “Closure relations for totally nonnegative cells in \(G/P\)”. In: Math. Res. Lett. 13.5-6 (2006), pp. 775–786. arXiv: math/0509137.

[RT]

Heather M. Russell and Julianna S. Tymoczko. Springer representations on the Khovanov Springer varieties. arXiv: 0811.0650.

[RW08]

Konstanze Rietsch and Lauren Williams. “The totally nonnegative part of \(G/P\) is a CW complex”. In: Transform. Groups 13.3-4 (2008), pp. 839–853. arXiv: 0802.0889. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00031-008-9024-y.

[Yak10]

Milen Yakimov. “Invariant prime ideals in quantizations of nilpotent Lie algebras”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 101.2 (2010), pp. 454–476. arXiv: 0905.0852. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdq006.