Cellular Stratified Spaces

球面の configuration space を調べるために, Basabe と González と Rudyak と考えてみたのが cellular stratified space という, 胞体複体を一般化した stratified space である。 正確には, González と, 今では無くなってしまった Google Wave という system の上で議論して考えた。 González らとの [Bas+14] では, 結局 cellular stratified space を使うのは難しいことが判明したので, 出版されたものの中には入って いないが。

同じ言葉が, Schürmann の本 [Sch03] の Chapter 2 で定義されてはいるが, それは特異点論のためのもので, 別物である。

アイデアは単純で, 胞体複体の定義を閉じていない disk を胞体として許すように修正するだけである。 古典的な胞体複体の定義では, stratified space の言葉は使われていないが, 空間の分割を述べるために, stratified space として定義した。 胞体複体の定義で, 特性写像と呼ばれているものを cell structure と呼ぶことにした。

• cell structure

動機の一つは, hyperplane arrangement の Salvetti complex の構成を configuration space に一般化することだった。 そして, 同時に, regular cell complex \(X\) の face poset の分類空間が, \(X\) の重心細分 \(\mathrm{Sd}(X)\) と同相である, という事実の一般化にもなっているものを目指した。

そのためには, regular cell complex の face poset の一般化になっている face category が必要になり, それを定義するために totally normal や その一般化である cylindricall normal などの構造を考えた。

• totally normal cellular stratified space
• cylindrically normal cellular stratified space とその face category

Cylindrically normal cellular stratified space \(X\) に対しては, face category \(C(X)\) と呼ばれる topological category が定義され, その 分類空間 \(BC(X)\) を \(X\) barycentric subdivision \(\mathrm{Sd}(X)\) という。 Totally normal cellular stratified space の場合, face category \(C(X)\) が離散位相を持つので考えやすい。

• cylindrically normal cellular stratified space \(X\) に対し, 自然な埋め込み \(\Sd (X)\hookrightarrow X\) がある。

この埋め込みは, Salvetti complex の complexified arrangement の complement への埋め込みの類似 (拡張) である。重要な問題は, これがいつ deformation retract になるかであるが, これに対して [Tam18] で, locally polyhedral cellular stratified space を導入し, 次のようなことを証明した。

• locally polyhedral cellular stratified space \(X\) の barycentric subdivision \(\mathrm{Sd}(X)\) は \(X\) の deformation retract になる。

実際に configuration space に応用するためには, 直積や細分, そして complement などの操作が必要になる。また Salvetti complex では simplicial complex として作ってから simplex を合せることにより胞体の数を減らした cell complex を作っている。その操作も必要である。それらについても, [Tam18] で調べた。その際に, cell だけでなく星型の stellar structure も重要であることが分かった。

• stellar stratified space

直積などの操作については, quotient map の性質を理解することが鍵となる。このあたりの問題については, 大阪府立大学 の入江氏に指摘していただいた。

Totally normal cellular stratified space のグラフの configuration space への応用については, [FMT15] にまとめた。グラフの braid group についても, 簡単なグラフについて求めてある。

Configuration space 以外の応用としては, 次のようなものがある。

• submanifold arrangement [Des; Des14]
• toric arrangement [CD17]
• Cohen-Jones-Segal Morse theory [Tan] や discrete Morse theory の Cohen-Jones-Segal 版 [NTT18]
• Bridgeland の stability condition の空間 [QW18]

References

[Bas+14]

Ibai Basabe, Jesús González, Yuli B. Rudyak, and Dai Tamaki. “Higher topological complexity and its symmetrization”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.4 (2014), pp. 2103–2124. arXiv: 1009.1851. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2014.14.2103.

[CD17]

Karthik Chandrasekhar and Priyavrat Deshpande. “Face enumeration for line arrangements in a 2-torus”. In: Indian J. Pure Appl. Math. 48.3 (2017), pp. 345–362. arXiv: 1404.1665. url: https://doi.org/10.1007/s13226-017-0234-7.

[Des]

Priyavrat Deshpande. Arrangements of Submanifolds and the Tangent Bundle Complement. arXiv: 1110.1520.

[Des14]

Priyavrat Deshpande. “On a generalization of Zaslavsky’s theorem for hyperplane arrangements”. In: Ann. Comb. 18.1 (2014), pp. 35–55. arXiv: 1111.1251. url: https://doi.org/10.1007/s00026-013-0210-9.

[FMT15]

Mizuki Furuse, Takashi Mukouyama, and Dai Tamaki. “Totally normal cellular stratified spaces and applications to the configuration space of graphs”. In: Topol. Methods Nonlinear Anal. 45.1 (2015), pp. 169–214. arXiv: 1312.7368. url: http://dx.doi.org/10.12775/TMNA.2015.010.

[NTT18]

Vidit Nanda, Dai Tamaki, and Kohei Tanaka. “Discrete Morse theory and classifying spaces”. In: Adv. Math. 340 (2018), pp. 723–790. arXiv: 1612.08429. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.016.

[QW18]

Yu Qiu and Jon Woolf. “Contractible stability spaces and faithful braid group actions”. In: Geom. Topol. 22.6 (2018), pp. 3701–3760. arXiv: 1407.5986. url: https://doi.org/10.2140/gt.2018.22.3701.

[Sch03]

Jörg Schürmann. Topology of singular spaces and constructible sheaves. Vol. 63. Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. Monografie Matematyczne (New Series) [Mathematics Institute of the Polish Academy of Sciences. Mathematical Monographs (New Series)]. Basel: Birkhäuser Verlag, 2003, pp. x+452. isbn: 3-7643-2189-X.

[Tam18]

Dai Tamaki. “Cellular stratified spaces”. In: Combinatorial and toric homotopy. Vol. 35. Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, pp. 305–435. arXiv: 1609.04500.

[Tan]

Kohei Tanaka. Reconstruction of Manifolds from Their Morse Functions. arXiv: 1106.3374.