Toric Arrangement

超平面配置の変種として, torus 上の subtorus の成す arrangement の研究が盛んである。

d’Antonio と Delucchi の [dD15] によると, toric arrangement は少なくとも 90年代には Lehrer [Leh95] により調べられていたらしい。 最近の研究の出発点は De Concini と Procesi と Vergne が partition function や box spline との関係を見つけた [DP05] ことによるようである。 De Concini と Procesi による本 [DP11] も出たので, まずはそれを見てみるのがよいかもしれない。

De Concini と Procesi が考えているのは, 代数幾何での torus, つまり \((\bbC ^{\times })^n\) である。トポロジーでの torus, つまり \((S^1)^n\) を考えているものとして, Ehrenborg と Readdy と Slone の [ERS09] がある。

最近では, Moci の [Moc12a; Moc08] などがある。Moci [Moc12b] は wonderful model の toric 版も考えている。

代数的トポロジーの視点からの興味は, その complement の homotopy type や homology であるが, Moci は Salvetti complex の toric 版も Settepanella との共著 [MS11] で考えている。より一般に complexified toric arrangement の Salvetti complex を構成しているのは, d’Antonio と Delucchi [dD12] である。

• complexified toric arrangement
• complexified toric arrangement の Salvetti complex

d’Antonio と Delucchi は, それを用いて基本群の表示を求めている。

Salvetti complex の類似があることから, cellular stratified space の理論が使えそうだと考えられるが, 実際にそのような試みとして Chandrasekhar と Deshpande の [CD17b] がある。

Deshpande と Sutar [DS16] は Orlik-Solomon algebra の類似を持つ場合, つまり cohomology が degree 1 の元で生成されている場合を考えている。

d’Antonio と Delucchi は, [dD15] で discrete Morse theory を用いて toric arrangement の complement が minimal であることを証明している。

Complement の cohomology については, De Concini と Procesi の [DP05] で調べられている。Davis と Settepanella [DS13] は, 局所係数の cohomology が最高次元以外消えているための条件が調べられている。 Bergvall [Ber22] は root系に associate した場合の complement の cohomology を計算している。

Callegaro と Delucchi [CD17a] は complement の整係数の cohomology を調べ, Orlik-Solomon algebra 流の表示を得ようとしている。

C. Berger [Dup16] は, toric arrangement の complement が formal であることを示している。

単純グラフから graphic hyperplane arrangement が定義されるように, graphic toric arrangement を定義することもできる。 実 toric arrangementの complementの chamber の集合に対応する組み合せ論的構造として, Develin, Macauley, Reiner [DMR16] が toric poset と いうものを定義している。Macauley [Mac] は, poset morphism に対応する toric poset morphism を定義している。

一般化や変種も様々定義され, 調べられている。 Subspace arrangement のように, codimension 1 に限定しないもの [MP22] や Abelian variety の subvariety の arrangement [Bib16; Bib] など。

References

[Ber22]

Olof Bergvall. “Cohomology of complements of toric arrangements associated with root systems”. In: Res. Math. Sci. 9.1 (2022), Paper No. 9, 17. arXiv: 1601.01857. url: https://doi.org/10.1007/s40687-021-00305-z.

[Bib]

Christin Bibby. Matroid schemes and geometric posets. arXiv: 2203. 15094.

[Bib16]

Christin Bibby. “Cohomology of abelian arrangements”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 144.7 (2016), pp. 3093–3104. arXiv: 1310.4866. url: https://doi.org/10.1090/proc/12937.

[CD17a]

Filippo Callegaro and Emanuele Delucchi. “The integer cohomology algebra of toric arrangements”. In: Adv. Math. 313 (2017), pp. 746–802. arXiv: 1504.06169. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.04.017.

[CD17b]

Karthik Chandrasekhar and Priyavrat Deshpande. “Face enumeration for line arrangements in a 2-torus”. In: Indian J. Pure Appl. Math. 48.3 (2017), pp. 345–362. arXiv: 1404.1665. url: https://doi.org/10.1007/s13226-017-0234-7.

[dD12]

Giacomo d’Antonio and Emanuele Delucchi. “A Salvetti complex for toric arrangements and its fundamental group”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 15 (2012), pp. 3535–3566. arXiv: 1101.4111. url: http://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnr161.

[dD15]

Giacomo d’Antonio and Emanuele Delucchi. “Minimality of toric arrangements”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 17.3 (2015), pp. 483–521. arXiv: 1112.5041. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/508.

[DMR16]

Mike Develin, Matthew Macauley, and Victor Reiner. “Toric partial orders”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 368.4 (2016), pp. 2263–2287. arXiv: 1211.4247. url: https://doi.org/10.1090/tran/6356.

[DP05]

C. De Concini and C. Procesi. “On the geometry of toric arrangements”. In: Transform. Groups 10.3-4 (2005), pp. 387–422. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00031-005-0403-3.

[DP11]

Corrado De Concini and Claudio Procesi. Topics in hyperplane arrangements, polytopes and box-splines. Universitext. New York: Springer, 2011, pp. xx+384. isbn: 978-0-387-78962-0.

[DS13]

M. W. Davis and S. Settepanella. “Vanishing results for the cohomology of complex toric hyperplane complements”. In: Publ. Mat. 57.2 (2013), pp. 379–392. arXiv: 1111 . 2866. url: https://doi.org/10.5565/PUBLMAT_57213_05.

[DS16]

Priyavrat Deshpande and Kavita Sutar. “Deletion-restriction in toric arrangements”. In: J. Ramanujan Math. Soc. 31.1 (2016), pp. 17–30. arXiv: 1406.0302.

[Dup16]

Clément Dupont. “Purity, formality, and arrangement complements”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 13 (2016), pp. 4132–4144. arXiv: 1505.00717. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnv260.

[ERS09]

Richard Ehrenborg, Margaret Readdy, and Michael Slone. “Affine and toric hyperplane arrangements”. In: Discrete Comput. Geom. 41.4 (2009), pp. 481–512. arXiv: 0810 . 0295. url: https://doi.org/10.1007/s00454-009-9134-x.

[Leh95]

G. I. Lehrer. “A toral configuration space and regular semisimple conjugacy classes”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 118.1 (1995), pp. 105–113. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100073497.

[Mac]

Matthew Macauley. Morphisms and order ideals of toric posets. arXiv: 1501.02239.

[Moc08]

Luca Moci. “Combinatorics and topology of toric arrangements defined by root systems”. In: Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 19.4 (2008), pp. 293–308. arXiv: 0912.5458. url: http://dx.doi.org/10.4171/RLM/526.

[Moc12a]

Luca Moci. “A Tutte polynomial for toric arrangements”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.2 (2012), pp. 1067–1088. arXiv: 0911.4823. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2011-05491-7.

[Moc12b]

Luca Moci. “Wonderful models for toric arrangements”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 1 (2012), pp. 213–238. arXiv: 0912.5461.

[MP22]

Luca Moci and Roberto Pagaria. “On the cohomology of arrangements of subtori”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 106.3 (2022), pp. 1999–2029. arXiv: 2001.05180.

[MS11]

Luca Moci and Simona Settepanella. “The homotopy type of toric arrangements”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.8 (2011), pp. 1980–1989. arXiv: 1009.3622. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.11.008.