Discrete Morse Theory

Bloch の [Blo13] によると, Morse theory の離散版を考えた人は何人かいるようである。 最も有名なのは, Forman の CW複体上の Morse theory だろう。Bloch は, Banchoff の [Ban67; Ban70; Ban83] を挙げている。 この“discrete Cerf theory があるか”という Math Overflow の質問に対するコメントでは, Bestvina の [Bes08] が挙げられている。

Bestvina は, それ以前に Brady と共に [BB97] で Morse theory の離散版を考えている。Appiah らの [App+] では, PL Morse theory と呼ばれている。

• PL Morse theory

Chen, Liu, Zhou の [CLZ] では, Ken Brown と Geoghegan の 群の有限表示性に関する論文 [BG84] で, 同様のアイデアが使われていることが指摘されている。 その後, Ken Brown は [Bro92] で simplicial set に対する Morse theory の類似を構築している。これは, Forman のものとほぼ同じものであり, Steinberg の [Ste] では, Brown-Forman discrete Morse theory と呼ばれている。

• Brown-Forman discrete Morse theory

Forman のものは, 文献としては [For95; For98b; For98a; MY99] などがある。解説としては, Forman 自身による User’s Guide [For02] がある。Jonsson の graph からできる単体的複体の本 [Jon08] や Kozlov の本 [Koz08] にも解説が含まれている。

• discrete Morse function
• critical cell
• critical cell の数と Betti 数に関する Morse 不等式の類似

単体的複体や regular cell complex の場合には, その face poset で全て議論できる。例えば, 多様体の Morse theory の gradient vector field に対応するのは, face poset の Hasse diagram 上の acyclic partial matching である。また gradient flow に対応するのは, その acyclic partial matching の成す path である。

• discrete vector field
• acyclic partial matching

Forman は, gradient flow に対応する path として, 余次元1の面の関係になっている alternating sequence を考えたが, それでは条件が厳しすぎて, 多様体の Morse theory の真似をするのは難しい。そこで, Nanda と Tanaka との共著 [NTT18] で flow path という概念を導入した。

• Forman の gradient path
• flow path

Flow path が「正しい」gradient flow の類似であることは, Cohen-Jones-Segal の preprint [CJS] の主定理の離散版が証明されていることで保証されている, と思っている。 Nanda による categorical な approach [Nan19] もある。

多様体の Morse theory の場合には, Morse 関数が, ある transversality を満たすと, ホモロジーがその多様体のホモロジーと同型になる chain complex が作れるが, discrete Morse theory でも同様の chain complex が構成できる。Gallais は, その chain complex の combinatorial realization を [Gal10] で与えている。

PL topology や 組み合せ論など様々な応用が考えられている。

• discrete Morse theory の応用

自然な疑問は, 可微分多様体の Morse 理論との関係であるが, それについては, Gallais [Gal10] や Benedetti [Ben16] らが調べている。

様々な variation も考えられている。

• discrete Morse theory の一般化や変種

References

[App+]

B. Appiah et al. The algebraic structure of hyperbolic graph braid groups. arXiv: 2403.08623.

[Ban67]

Thomas Banchoff. “Critical points and curvature for embedded polyhedra”. In: J. Differential Geometry 1 (1967), pp. 245–256.

[Ban70]

T. F. Banchoff. “Critical points and curvature for embedded polyhedral surfaces”. In: Amer. Math. Monthly 77 (1970), pp. 475–485.

[Ban83]

Thomas F. Banchoff. “Critical points and curvature for embedded polyhedra. II”. In: Differential geometry (College Park, Md., 1981/1982). Vol. 32. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1983, pp. 34–55.

[BB97]

Mladen Bestvina and Noel Brady. “Morse theory and finiteness properties of groups”. In: Invent. Math. 129.3 (1997), pp. 445–470. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050168.

[Ben16]

Bruno Benedetti. “Smoothing discrete Morse theory”. In: Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 16.2 (2016), pp. 335–368. arXiv: 1212.0885.

[Bes08]

Mladen Bestvina. “PL Morse theory”. In: Math. Commun. 13.2 (2008), pp. 149–162.

[BG84]

Kenneth S. Brown and Ross Geoghegan. “An infinite-dimensional torsion-free \(\mathrm {FP}_{\infty }\) group”. In: Invent. Math. 77.2 (1984), pp. 367–381. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01388451.

[Blo13]

Ethan D. Bloch. “Polyhedral representation of discrete Morse functions”. In: Discrete Math. 313.12 (2013), pp. 1342–1348. arXiv: 1008.3724. url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2013.02.020.

[Bro92]

Kenneth S. Brown. “The geometry of rewriting systems: a proof of the Anick-Groves-Squier theorem”. In: Algorithms and classification in combinatorial group theory (Berkeley, CA, 1989). Vol. 23. Math. Sci. Res. Inst. Publ. New York: Springer, 1992, pp. 137–163. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4613-9730-4_6.

[CJS]

R. L. Cohen, J.D.S. Jones, and G. B. Segal. Morse theory and classifying spaces. preprint. url: http://math.stanford.edu/~ralph/morse.ps.

[CLZ]

Jun Chen, Yuming Liu, and Guodong Zhou. Algebraic Morse Theory via Homological Perturbation Lemma with Two Applications. url: http://math0.bnu.edu.cn/~liuym/paper/Chen-Liu-Zhou.pdf.

[For02]

Robin Forman. “A user’s guide to discrete Morse theory”. In: Sém. Lothar. Combin. 48 (2002), Art. B48c, 35.

[For95]

Robin Forman. “A discrete Morse theory for cell complexes”. In: Geometry, topology, & physics. Conf. Proc. Lecture Notes Geom. Topology, IV. Int. Press, Cambridge, MA, 1995, pp. 112–125.

[For98a]

Robin Forman. “Morse theory for cell complexes”. In: Adv. Math. 134.1 (1998), pp. 90–145. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1650.

[For98b]

Robin Forman. “Witten-Morse theory for cell complexes”. In: Topology 37.5 (1998), pp. 945–979. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(97)00071-2.

[Gal10]

Étienne Gallais. “Combinatorial realization of the Thom-Smale complex via discrete Morse theory”. In: Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 9.2 (2010), pp. 229–252. arXiv: 0803.2616.

[Jon08]

Jakob Jonsson. Simplicial complexes of graphs. Vol. 1928. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2008, pp. xiv+378. isbn: 978-3-540-75858-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-75859-4.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[MY99]

Varghese Mathai and Stuart G. Yates. “Discrete Morse theory and extended \(L^{2}\) homology”. In: J. Funct. Anal. 168.1 (1999), pp. 84–110. url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1999.3439.

[Nan19]

Vidit Nanda. “Discrete Morse theory and localization”. In: J. Pure Appl. Algebra 223.2 (2019), pp. 459–488. arXiv: 1510.01907. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2018.04.001.

[NTT18]

Vidit Nanda, Dai Tamaki, and Kohei Tanaka. “Discrete Morse theory and classifying spaces”. In: Adv. Math. 340 (2018), pp. 723–790. arXiv: 1612.08429. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.016.

[Ste]

Benjamin Steinberg. Contractibility of the orbit space of the \(p\)-subgroup complex via Brown-Forman discrete Morse theory. arXiv: 2303.07882.