その他 arrangement に関連した話題

Hyperplane arrangement に関連したことでまず知っておくべきなのは, oriented matroid だろう。基本的には, real hyperplane arrangement に関するとは, 全て oriented matroid の言葉で記述できるはずである。

• matroid と oriented matroid

Arrangment に対し, その complement のトポロジーを調べるということは古くから行なわれてきたが, Dan Cohen と Suciu は, boundary manifold を調べるということを考えた。

• arrangement の boundary manifold

彼等は, [CS06] では, complex projective hypersurface の boundary manifold の cohomology や Lusternik-Schnierelmann category, そして topological complexity などについて調べている。Hyperplane arrangement の場合には, boundary manifold の cohomology は, arrangement の 組合せ論的構造で決定されることが示されている。 [CS08]では, complex line arrangement の boundary manifold について, その基本群などを調べている。

Braden らは, [Bra+10] で, affine hyperplane arrangement から互いに Koszul dual である\(2\)種類の finite dimensional algebra を定義している。Gale transform で2つの algebra の役割 が入れ替わることは興味深い。

彼等の仕事は, affine hyperplane arrangement と hypertoric variety との関係が元になっているようである。

• hypertoric variety

Lam と Postnikov は, [LP07] で crystallographic root system に associate した arrangement から, alcoved polytope という種類の convex polytope を定義している。

Meszaros と Postnikov [MP] は, hyperplane arrangement から branched polymer を作る方法を考えている。

Hypergeometric function との関連も重要である。

• hypergeometric function

Varchenko [Var11] は, weighted arrangement から Gaudin model の一般化となっているような quantum integrable model を構成している。

Terao の [Ter] は, real central arrangement と経済学における Kenneth Arrow の impossibility theorem との関連について述べている。 他にも人文社会科学への応用は色々あるようである。 Kamiya, Takemura, Tokushige の [KTT12] など。

Matveev の [Mat] によると, パターン認識とも関係あるらしい。

Hyperplane arrangement 上の random walk も調べられている。

• hyperplane arrangement 上の random walk

De Concini と Procesi は, 最近 box spline との関係に注目しているようである。

• box spline

[CP] という論文を書いているし, 本も書いているようである。

Hyperplane arrangment の変種も色々考えられている。

• 超平面配置の一般化や変種

References

[Bra+10]

Tom Braden, Anthony Licata, Nicholas Proudfoot, and Ben Webster. “Gale duality and Koszul duality”. In: Adv. Math. 225.4 (2010), pp. 2002–2049. arXiv: 0806.3256. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.04.011.

[CP]

C. De Concini and C. Procesi. The algebra of the box spline. arXiv: math/0602019.

[CS06]

Daniel C. Cohen and Alexander I. Suciu. “Boundary manifolds of projective hypersurfaces”. In: Adv. Math. 206.2 (2006), pp. 538–566. arXiv: math/0502506. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.10.003.

[CS08]

Daniel C. Cohen and Alexander I. Suciu. “The boundary manifold of a complex line arrangement”. In: Groups, homotopy and configuration spaces. Vol. 13. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2008, pp. 105–146. arXiv: math/0607274. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2008.13.105.

[KTT12]

Hidehiko Kamiya, Akimichi Takemura, and Norihide Tokushige. “Application of arrangements theory to unfolding models”. In: Arrangements of hyperplanes—Sapporo 2009. Vol. 62. Adv. Stud. Pure Math. Tokyo: Math. Soc. Japan, 2012, pp. 399–415. arXiv: 1004.0043.

[LP07]

Thomas Lam and Alexander Postnikov. “Alcoved polytopes. I”. In: Discrete Comput. Geom. 38.3 (2007), pp. 453–478. arXiv: math/ 0501246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-006-1294-3.

[Mat]

Andrey O. Matveev. Pattern Recognition on Oriented Matroids: The Existence of a Tope Committee. arXiv: math/0607570.

[MP]

Karola Mészáros and Alexander Postnikov. Branched polymers and hyperplane arrangements. arXiv: 0909.4547.

[Ter]

Hiroaki Terao. Chambers of Arrangements of Hyperplanes and Arrow’s Impossibility Theorem. arXiv: math/0608591.

[Var11]

Alexander Varchenko. “Quantum integrable model of an arrangement of hyperplanes”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 7 (2011), Paper 032, 55. arXiv: 1001.4553.