他の幾何学的対象の arrangement や埋め込み等の成す空間

超平面配置の一般化としては, まずは, 超曲面などの超平面より一般的な codimension \(1\) の subspace の配置が考えられる。 これらは次のページにまとめた。

Configuration space の一般化としては, 点に限らず, 直線や円周などの, 正の次元を持つものの成す空間を考えることもできる。 例えば, Euclid空間の中の互いに交わらない affine 部分空間 (flat) の成す空間がすぐ思いつくものである。射影空間版も考えられている。 [ABM05; Suá09] など。

大きさを持った disk の configuration は hard disk と呼ばれているらしい。 この MathOverflow のページで, その configuration space の homotopy type が質問されている。Matthew Kahle らが調べているようである。Carlsson と Gorham と Kahle と Mason の [Car+] の Introduction をまず読むとよい。

  • configuration space of hard disks

Baryshnikov と Bubenik と Kahle の [BBK14] では, bounded region 内での hard disk の configuration space について, 点の configuration space とホモトピー同値になる半径を求めている。

\(n\) 点の configuration space の元を \(n\) 個の点から成る集合からの写像と思ったとき, その \(n\) 個の点の集合に様々な構造を考えることにより, configuration space に対応した構造が入る。例えば, 定義域を位数 \(n\) の群 \(G\) と考えると, その群の configuration space への作用が考えられる。これは [Kar09] で考えられている。

曲がった部分空間の集合を位相空間と見なすときには, 普通は埋め込みの成す空間として考える。ある意味で, トポロジーにおける moduli space のようなものである。

\(S^1\) の \(\R ^n\) への埋め込みの成す空間 \(\mathrm {Emb}(S^1,\R ^n)\) や \(\R \) の埋め込みで十分遠くで真っ直ぐになっているもの (long knotという) \(\mathrm {Emb}(\R ,\R ^n)\) は Vassiliev や Kontsevich などの研究により大きく進歩した。

Link していない輪っかや半円の configuration space を考えたものとして Brendle と Hatcher の [BH13] がある。

球面がくっついた branched polymer というものも考えられている。Brydges と Imbre の [BI03] や Kenyon と Winkler の [KW09] など。 Kenyon と Winkler によると, 生物学化学のモデルとして考えられたらしい。

  • branched polymer の空間

Meszaros と Postnikov [MP13] は, 体積が球面の半径に依らないような, branched polymer の空間の改良版を与えている。 そして hyperplane arrangement に対する branched polymer の空間の一般化を考えている。 Braid arrangement の場合が, \(\R ^2\) の中 の branched polymer になる。

単なる smooth embedding ではなく, 様々な幾何学的構造をもつ多様体を考え, それらの構造を保つ埋め込みの空間を考えることも重要である。 Symplectic 多様体については, Biran の [Bir96] などがある。

もう少し条件を緩めて, immersion の成す空間を考えることもできる。Michor と Mumford [MM06] は \(S^1\) の \(\R ^2\) への immersion, つまり平面上の滑らかな閉曲線, の中で回転数が \(0\) でないものの成す空間を, Kodama と Michor [KM06] は回転数 \(0\) のものの成す空間のホモトピー型を決定した。

代数幾何学では, algebraic cycle の成す空間 (variety) が考えられてきた。 代数的トポロジーの対象としても興味深い空間が algebraic cycle から作られる。

Configuration space の変種としては, パワーショベルの腕のような, 関節のある腕の成す configuration space も考えられる。

グラフの上の点の configuration space を考えている人もいる。

グラフの configuration space により, グラフの braid群が定義されるが, それは複素平面の configuration space から定義される braid 群と似た性質を持つ。

多項式の成す空間も, configuration space と関係がある。 複素数体上では monic な多項式なら, その根の成す空間と同一視できるからである。もっとも, 重根を持つ場合もあるし, 根の順序の入れ替えにも依らないので, 対称積と関連づけて考えた方がよいが。

多項式の空間を調べたものとして, 例えば, Shapiro と Welker の [SW98], Katz, Shapiro, Welker の [KSW], Hyde の [Hyd], Calegari の [Cal] などがある。

対称積と関係のある構成として weighted barycenter の成す空間というものがある。Kallel と Karoui [KK11] によると, Bahri と Coron [BC88] により導入されたらしい。

また, exponential space や Ran space と呼ばれている構成も対称積に近い。 様々な cardinality の configuration space を合わせたものとも考えられるが。

他にも, 空間の中の捩れの位置にある直線の配置の問題を考えた Viro と Viro の [VV] などがある。

References

[ABM05]

Jorge L. Arocha, Javier Bracho, and Luis Montejano. “Configurations of flats. I. Manifolds of points in the projective line”. In: Discrete Comput. Geom. 34.1 (2005), pp. 111–128. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-005-1163-5.

[BBK14]

Yuliy Baryshnikov, Peter Bubenik, and Matthew Kahle. “Min-type Morse theory for configuration spaces of hard spheres”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 9 (2014), pp. 2577–2592. arXiv: 1108.3061. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnt012.

[BC88]

A. Bahri and J.-M. Coron. “On a nonlinear elliptic equation involving the critical Sobolev exponent: the effect of the topology of the domain”. In: Comm. Pure Appl. Math. 41.3 (1988), pp. 253–294. url: http://dx.doi.org/10.1002/cpa.3160410302.

[BH13]

Tara E. Brendle and Allen Hatcher. “Configuration spaces of rings and wickets”. In: Comment. Math. Helv. 88.1 (2013), pp. 131–162. arXiv: 0805.4354. url: https://doi.org/10.4171/CMH/280.

[BI03]

David C. Brydges and John Z. Imbrie. “Branched polymers and dimensional reduction”. In: Ann. of Math. (2) 158.3 (2003), pp. 1019–1039. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2003.158.1019.

[Bir96]

Paul Biran. “Connectedness of spaces of symplectic embeddings”. In: Internat. Math. Res. Notices 10 (1996), pp. 487–491. arXiv: dg-ga/ 9603008. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792896000323.

[Cal]

Danny Calegari. Sausages and Butcher Paper. arXiv: 2105.11265.

[Car+]

Gunnar Carlsson, Jackson Gorham, Matthew Kahle, and Jeremy Mason. Computational topology for configuration spaces of hard disks. arXiv: 1108.5719.

[Hyd]

Trevor Hyde. Euler characteristic of the space of real multivariate irreducible polynomials. arXiv: 2011.05572.

[Kar09]

R. N. Karasev. “The genus and the category of configuration spaces”. In: Topology Appl. 156.14 (2009), pp. 2406–2415. arXiv: 0905.0555. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2009.06.012.

[KK11]

Sadok Kallel and Rym Karoui. “Symmetric joins and weighted barycenters”. In: Adv. Nonlinear Stud. 11.1 (2011), pp. 117–143. arXiv: math/0602283. url: https://doi.org/10.1515/ans-2011-0106.

[KM06]

Hiroki Kodama and Peter W. Michor. “The homotopy type of the space of degree 0-immersed plane curves”. In: Rev. Mat. Complut. 19.1 (2006), pp. 227–234. arXiv: math/0509694. url: https://doi.org/10.5209/rev_REMA.2006.v19.n1.16660.

[KSW]

Gabriel Katz, Boris Shapiro, and Volkmar Welker. Real polynomials with constrained real divisors. I. Fundamental groups. arXiv: 1908. 07941.

[KW09]

Richard Kenyon and Peter Winkler. “Branched polymers”. In: Amer. Math. Monthly 116.7 (2009), pp. 612–628. arXiv: 0709.2325. url: http://dx.doi.org/10.4169/193009709X458582.

[MM06]

Peter W. Michor and David Mumford. “Riemannian geometries on spaces of plane curves”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 8.1 (2006), pp. 1–48. arXiv: math / 0312384. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/37.

[MP13]

Karola Mészáros and Alexander Postnikov. “Branched polymers and hyperplane arrangements”. In: Discrete Comput. Geom. 50.1 (2013), pp. 22–38. arXiv: 0909.4547. url: https://doi.org/10.1007/s00454-013-9499-8.

[Suá09]

Pablo Suárez-Serrato. “Affine configurations and pure braids”. In: Discrete Comput. Geom. 41.1 (2009), pp. 177–181. arXiv: math/ 0601476. url: https://doi.org/10.1007/s00454-008-9069-7.

[SW98]

Boris Shapiro and Volkmar Welker. “Combinatorics & topology of stratifications of the space of monic polynomials with real coefficients”. In: Results Math. 33.3-4 (1998), pp. 338–355. arXiv: math/9609211. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF03322093.

[VV]

Julia Viro and Oleg Viro. Configurations of skew lines. arXiv: math/ 0611374.