Lusternik-Schnierelmann category に近い不変量として Farber が topological complexity
というものを [Far03] で定義した。
その motivation は motion planning, つまり二点 \(x_0, x_1 \in X\) に対し, \(x_0\) を始点とし \(x_1\) を終点とする道を \(x_{0}\) と \(x_{1}\) に関し,
連続的に選ぶ方法があるか, という問題である。Farberは, motion planning について topological robotics
というタイトルの論文 [FTY03; FY04] を書いている。
つまり, 道の始点と終点を対応させる写像 \[ \pi : \mathrm {Map}(I,X) \longrightarrow X\times X \] の連続な cross section が存在するか, という問題である。\(X\times X\) 全体では存在しないかもしれないが, \(X\times X\)
を適当な開集合に分割すれば, その小さな開集合上では存在するかもしれない。その開集合の最小数が \(X\) の topological complexity \(\mathrm {TC}(X)\)
である。
- 位相空間 \(X\) に対し \(\mathrm {TC}(X)\) の定義
まず知っておくべきことは, \(\pi \) の global なmotion planning が存在するのは可縮な空間の場合のみであることである。
- motion planning が存在するための必要十分条件は, \(X\) が可縮であることである。
このことから, topological complexity が Lusternik-Schnierelmann category
と関係が深いことが分かる。 ただ, その関係はそれほど単純なものではない。 Dan Cohen と Suciu の計算 [CS06] から,
次のことが分かる。
- \(\mathrm {TC}(X)-\mathrm {cat}(X)\) は, いくらでも大きくなり得る。
また \(\pi \) は fibration だから Schwarz genus とも関係がある。
基本的な性質は以下の通りである。全て Farber の論文に書いてある。
- \(\mathrm {TC}(X)\) はホモトピー不変量である。
- \(X\) が path-connected paracompact locally contractible space ならば \[ \mathrm {TC}(X) \le 2\dim X -1 \]
- \(X\) が path-connected paracompact space ならば \[ \mathrm {cat}(X) \le \mathrm {TC}(X) \le 2\mathrm {cat}(X)-1 \]
- カップ積 \[ H^*(X;k)\otimes H^*(X;k) \longrightarrow H^*(X;k) \] の kernel を \(I\) とおくとき, \(\mathrm {TC}(X)\) は \(I\) の元の列で, 積が \(0\) にならないものの長さで最大なもの以下である。
- \(X\) の topological complexity は \(\pi \) の Schwarz genus と一致する。
- \(X\) と \(Y\) が path-connected な距離空間ならば \[ \mathrm {TC}(X\times Y) \le \mathrm {TC}(X) + \mathrm {TC}(Y) -1 \]
「小さな」基本群を持つ空間の topological complexity の upper bound については, [CF10]
で調べられている。
具体的な空間に対して決定されている場合を, 次のページにまとめた。
実射影空間の immersion の問題との間には密接な関係がある。Farber と Tabachnikov と Yuzvinsky の
[FTY03] である。その後, Gonzalez や Grant ら, 他の人によっても調べられている。Gonzalez と Landweber の
[GL09] の Introduction をみるとよい。
変種も, 新しいものがどんどん導入されている。 まず symmetric version と higher version がある。
- symmetric topological complexity (Farber と Grant [FG07])
- symmetrized topological complexity ([Bas+14])
- higher topological complexity (Rudyak [Rud10])
- higher topological complexity for fibrations (Is と Karaca [IK])
- higher symmetric topological complexity (Rudyak [Rud10])
- higher simplicial complexity (Borat [Bor20] と Paul [Pau19])
- higher combinatorial complexity (Paul [Pau19])
- higher symmetric simplicial complexity (Paul と Sen の [PS])
- higher symmetric combinatorial complexity (Paul と Sen の [PS])
他にも色々あって, とりあえず目にしたものを挙げると次のようになるが, 多分抜けているものもあると思う。
- Q-topological complexity (Fernández Suárez と Vandembroucq [FV18])
- simplicial complexity (González [Gon18])
- discrete topological complexity (Fernández-Ternero と Macías-Virgós と
Minuz と Vilches の [Fer+18])
- combinatorial topological complexity for finite spaces (Tanaka [Tan18])
- geodesic complexity (Davis と Recio-Mitter [DR])
- directed topological complexity (Goubault [Gou])
- homotopic distance (Macias-Virgos と Mosquera-Lois [MM22])
- abstract topological complexity (Diaz, Garcia Calcines, Garcia Diaz,
Murillo, Remodios Gomez [Dı́a+12])
- parametrized topological complexity (Cohen, Farber, Weinberger [CFW])
- relative topological complexity (Short [Sho])
Equivariant 版については Colman と Grant [CG12] により最初に定義されたが, その後 Lubawski と
Marzantowicz の [LM], Dranishnikov の [Dra], Błaszczyk と Kaluba の [BK18] といった,
異なるアプローチが提案されている。 それらの比較, そして nonequivariant 版との比較については, Ángel と Colman の
[ÁC18] を見るとよい。
- 群の作用を持つ空間の topological complexity
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