Hypertoric Varieties

Bielawski と Dancer [BD00] により, toric hyperkähler manifold が導入された。そのコホモロジー環は, Konno [Kon00] により調べられている。彼等の結果を拡張が Hausel と Sturmfels [HS02] により得られている。

今では hypertoric variety と呼ぶ方が普通なのだろうか。 Proudfoot の解説 [Pro08] がある。

既に Bielawski と Dancer の論文に書かれているが, toric variety が多面体の組み合せ論と関係あるように, hypertoric variety は hyperplane arragement や matroid と関係あることが “guiding principle” となっているようである。 Hausel と Sturmfels [HS02] によると, hyperplane arrangmenet が graphic な場合 Najajima の quiver variety が得られるようである。

Proudfoot と Webster は [PW] で intersection cohomologyのBetti数 を求めたが, その結果は Braden と Proudfoot [BP09] により拡張され, intersection cohomology ring が決定されている。

References

[BD00]

Roger Bielawski and Andrew S. Dancer. “The geometry and topology of toric hyperkähler manifolds”. In: Comm. Anal. Geom. 8.4 (2000), pp. 727–760.

[BP09]

Tom Braden and Nicholas Proudfoot. “The hypertoric intersection cohomology ring”. In: Invent. Math. 177.2 (2009), pp. 337–379. arXiv: 0802.0641. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-009-0181-y.

[HS02]

Tamás Hausel and Bernd Sturmfels. “Toric hyperKähler varieties”. In: Doc. Math. 7 (2002), 495–534 (electronic). arXiv: math/0203096.

[Kon00]

Hiroshi Konno. “Cohomology rings of toric hyperkähler manifolds”. In: Internat. J. Math. 11.8 (2000), pp. 1001–1026.

[Pro08]

Nicholas J. Proudfoot. “A survey of hypertoric geometry and topology”. In: Toric topology. Vol. 460. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, pp. 323–338. arXiv: 0705.4236. url: https://doi.org/10.1090/conm/460/09027.

[PW]

Nicholas Proudfoot and Ben Webster. Arithmetic and topology of hypertoric varieties. arXiv: math/0411350.