Hypergeometric function と関連した関数

Hypergeometric function (hypergeometric series) は非常に多くの場面で登場するので, 様々な本が出ている。 configuration space との関連では, [Yos97; 吉田正97] がある。当然, hyperplane arrangement とも関係が深い。 Macdonald による手書きのものが type されたものは, [Mac] として入手できる。

代表的なものに dilogarithm があるが, これも様々な扱いがある。反復積分 [河野俊09] として扱うこともできる。Polylogarithm については Lewin の本 [Lew81; Lew91] がある。

• dilogarithm
• polylogarithm

Fadeev と Kashaev は [FK94] で quantum dilogarithm を定義し, その性質を調べた。

• quantum dilogarithm

Kashaev は, それを用いて link の不変量を [Kas95; Kas97] で構成している。

Kashaev と Nakanishi [KN11] によると, 他にも quantum dilogarithm は, 以下のようなことに関係しているようである。

• discrete quantum systems
• hyperbolic geometry
• Teichmüller theory
• quantum topology
• Donaldson-Thomas invariants
• string theory
• representation theory of algebras

References

[FK94]

L. D. Faddeev and R. M. Kashaev. “Quantum dilogarithm”. In: Modern Phys. Lett. A 9.5 (1994), pp. 427–434. arXiv: hep-th/9310070. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394000447.

[Kas95]

R. M. Kashaev. “A link invariant from quantum dilogarithm”. In: Modern Phys. Lett. A 10.19 (1995), pp. 1409–1418. arXiv: q-alg/9504020. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0217732395001526.

[Kas97]

R. M. Kashaev. “The hyperbolic volume of knots from the quantum dilogarithm”. In: Lett. Math. Phys. 39.3 (1997), pp. 269–275. arXiv: q-alg/9601025. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007364912784.

[KN11]

Rinat M. Kashaev and Tomoki Nakanishi. “Classical and quantum dilogarithm identities”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 7 (2011), Paper 102, 29. arXiv: 1104.4630. url: http://dx.doi.org/10.3842/SIGMA.2011.102.

[Lew81]

Leonard Lewin. Polylogarithms and associated functions. With a foreword by A. J. Van der Poorten. North-Holland Publishing Co., New York-Amsterdam, 1981, pp. xvii+359. isbn: 0-444-00550-1.

[Lew91]

Leonard Lewin, ed. Structural properties of polylogarithms. Vol. 37. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1991, pp. xviii+412. isbn: 0-8218-1634-9. url: http://dx.doi.org/10.1090/surv/037.

[Mac]

Ian G. Macdonald. Hypergeometric Functions I. arXiv: 1309.4568.

[Yos97]

Masaaki Yoshida. Hypergeometric functions, my love. Aspects of Mathematics, E32. Modular interpretations of configuration spaces. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1997, pp. xvi+292. isbn: 3-528-06925-2.

[吉田正97]

吉田正章. 私説 超幾何関数 - 対称領域による点配置空間の一意化 (共立講座 21世紀の数学). 共立出版, 1997. isbn: 9784320015760.

[河野俊09]

河野俊丈. 反復積分の幾何学 (シュプリンガー現代数学シリーズ). シュプリンガージャパン, 2009. isbn: 9784431706694.