Random Walks on Hyperplane Arrangements

確率論と hyperplane arrangement の関係, より正確には, hyperplane arrangement 上の random walkは, Bidigare が Ph.D. thesis で調べたのが最初のようである。 出版されたものとしては, Bidigare と Hanlon と Rockmore の [BHR99] や K.S. Brown と Diaconis の [BD98], そして Brown の [Bro00] がある。

Real hyperplane arrangement の face poset は, matroid product により left-regular band という種類の semigroup の構造を持つ。Bidigare と Hanlon と Rochmore や Brown は, その semigroup ring を用いて, hyperplane arrangement 上の random walk について考えている。 Björner の [Bjö08] をまず読んでみるとよいかもしれない。

• arrangement 上の random walk

Brown の [Bro00] の Appendix A には, その matroid product についての簡単な説明, そして Appendix B には left-regular band についての説明がある。

References

[BD98]

Kenneth S. Brown and Persi Diaconis. “Random walks and hyperplane arrangements”. In: Ann. Probab. 26.4 (1998), pp. 1813–1854. url: http://dx.doi.org/10.1214/aop/1022855884.

[BHR99]

Pat Bidigare, Phil Hanlon, and Dan Rockmore. “A combinatorial description of the spectrum for the Tsetlin library and its generalization to hyperplane arrangements”. In: Duke Math. J. 99.1 (1999), pp. 135–174. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-99-09906-4.

[Bjö08]

Anders Björner. “Random walks, arrangements, cell complexes, greedoids, and self-organizing libraries”. In: Building bridges. Vol. 19. Bolyai Soc. Math. Stud. Berlin: Springer, 2008, pp. 165–203. arXiv: 0805. 0083. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-85221-6_5.

[Bro00]

Kenneth S. Brown. “Semigroups, rings, and Markov chains”. In: J. Theoret. Probab. 13.3 (2000), pp. 871–938. arXiv: math/0006145. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007822931408.