代数解析学

代数解析学は 解析なのだろうか? Kashiwara と Schapira の本 [KS94] のタイトルにもあるように, 多様体上の 層とそのコホモロジーの言葉で現わせるものを扱っているわけで, 微分幾何学の一種のようにも思える。

代数解析学の主要な道具の一つは \(\mathcal {D}\)-module である。

• \(\mathcal {D}\)-module

\(\cD \)-module を用いると, 古典的な Riemann-Hilbert correspondence を derived category の同値に拡張できる。 これは, Kashiwara [Kas84] による。

• Riemann-Hilbert correspondence

重要な概念として micorlocalization がある。

• 可微分実多様体の部分多様体に沿った sheaf の microlocalization

Kashiwara らの [Kas+06] の Introduction には, microlocalization という概念の簡単な歴史がまとめてある。その論文自体は, perverse sheaf の microlocalization に関するものである。

Kashiwara と Schapira は [KS18; KS21] で, persistent homology に microlocal sheaf theory を使うことを考えている。 このような所に使えることに気付くのは, さすがである。

References

[Kas+06]

M. Kashiwara, P. Schapira, F. Ivorra, and I. Waschkies. “Microlocalization of ind-sheaves”. In: Studies in Lie theory. Vol. 243. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 2006, pp. 171–221. arXiv: math/0407371. url: http://dx.doi.org/10.1007/0-8176-4478-4_9.

[Kas84]

Masaki Kashiwara. “The Riemann-Hilbert problem for holonomic systems”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20.2 (1984), pp. 319–365. url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195181610.

[KS18]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. “Persistent homology and microlocal sheaf theory”. In: J. Appl. Comput. Topol. 2.1-2 (2018), pp. 83–113. arXiv: 1705.00955. url: https://doi.org/10.1007/s41468-018-0019-z.

[KS21]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. “Piecewise linear sheaves”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 15 (2021), pp. 11565–11584. arXiv: 1805.00349. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnz145.

[KS94]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Sheaves on manifolds. Vol. 292. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. With a chapter in French by Christian Houzel, Corrected reprint of the 1990 original. Berlin: Springer-Verlag, 1994, pp. x+512. isbn: 3-540-51861-4.