Geometric Langlands Program

Stoyanovsky [Sto] や この Quanta の記事によると, Drinfel\('\)d, そしてその後 Beilinson が, Langland の予想の幾何学的な解釈を提案したらしい。 現在, geometric Langlands correspondence と呼ばれているものである。

• geometric Langlands correspondence

Travkin [Tra16] によると, geometric Langlands correspondence は, reducitive group \(G\) に関連した二つの triangulated category の間に同値がある, という予想である。

一つは, algebraic curve の上の \(G\)-bundle の moduli space 上の \(\cD \)-module の category であり, もう一つは, \(G\) の Langlands dual group \({}^{L}G\) の local system の moduli space の上の quasicoherent sheaf の derived category である。

解説 (情報源) としては, 以下のようなものがある。

• University of Chicago の Geometric Langlands Seminar の website
• Edward Frenkel の本 [Fre07]
• Gaitsgory の website [Gai] や Bourbaki seminar の [Gai17]
• Parshin による survey [Par12]
• Ben-Zvi と Nadler による geometric Langlands conjecture の Betti form に関する解説 [BN18]

最近では, Fargues の仕事 [Far] に基づいた Fargues と Scholze [FS] による Fargues-Fontaine curve 上の geometric Langlands program の基礎に関する仕事がある。

References

[BN18]

David Ben-Zvi and David Nadler. “Betti geometric Langlands”. In: Algebraic geometry: Salt Lake City 2015. Vol. 97. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, pp. 3–41. arXiv: 1606.08523.

[Far]

Laurent Fargues. Geometrization of the local Langlands correspondence: an overview. arXiv: 1602.00999.

[Fre07]

Edward Frenkel. Langlands correspondence for loop groups. Vol. 103. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2007, pp. xvi+379. isbn: 978-0-521-85443-6.

[FS]

Laurent Fargues and Peter Scholze. Geometrization of the local Langlands correspondence. arXiv: 2102.13459.

[Gai]

Dennis Gaitsgory. Notes on Geometric Langlands. url: http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/GL/.

[Gai17]

Dennis Gaitsgory. “Progrès récents dans la théorie de Langlands géométrique”. In: 390. Séminaire Bourbaki. Vol. 2015/2016. Exposés 1104–1119. 2017, Exp. No. 1109, 139–168. isbn: 978-2-85629-855-8. arXiv: 1606.09462.

[Par12]

A. N. Parshin. “Questions and remarks concerning the Langlands program”. In: Uspekhi Mat. Nauk 67.3(405) (2012), pp. 115–146. arXiv: 1307.1878. url: https://doi.org/10.1070/RM2012v067n03ABEH004795.

[Sto]

A. V. Stoyanovsky. Quantum Langlands duality and conformal field theory. arXiv: math/0610974.

[Tra16]

Roman Travkin. “Quantum geometric Langlands correspondence in positive characteristic: the \(\GL _N\) case”. In: Duke Math. J. 165.7 (2016), pp. 1283–1361. arXiv: 1110.5707. url: https://doi.org/10.1215/00127094-3449780.