Condensed Objects

Condensed object は, Clausen と Scholze により導入された。 Scholze の lecture notes [Sch] によると, topological Abelian group のような category で ホモロジー代数を行なうことが動機である。

Condensed object の定義は簡単で, profinite set の成す category に pro-étale topology を入れてできる site 上の sheaf, というだけである。 ただし, profinite set の category は small ではないので, uncountable strong limit cardinal \(\kappa \) を固定し cardinality が \(\kappa \) 以下の profinite set に制限し \(\kappa \)-condensed object の category を定義し, \(\kappa \) に関する limit を取る必要がある。

この MathOverflow の質問で, Scholze の lecture notes を読むために必要なことがまとめられているものがないか, と聞かれているが, その回答の一つとして, Ásgeirsson の修士論文 [Ásg21] が挙げられている。

基本的な事実として, まず位相空間の category が condensed set の category に埋めこめることがある。更に, この埋め込みにより topological Abelian group の category が condensed Abelian group の category に埋め込まれるが, Abelian category に値を持つ sheaf の category として, condensed Abelian group の category は Abelian category になる。

• condensed set
• condensed Abelian group

Clausen と Scholze の project は Lean という proof assistant を使ったことで注目を集めた。 Quanta や Nature の記事がある。

Condensed set のホモトピー論を考えたものとしては, Mair の [Mai] がある。

References

[Ásg21]

Dagur Ásgeirsson. The Foundations of Condensed Mathematics. Master’s thesis. 2021. url: https://dagur.sites.ku.dk/files/2022/01/condensed-foundations.pdf.

[Mai]

Catrin Mair. Animated Condensed Sets and Their Homotopy Groups. arXiv: 2105.07888.

[Sch]

Peter Scholze. Lectures on Condensed Mathematics. url: https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Condensed.pdf.