Physics and Algebraic Geometry

近年の 物理学のアイデアの数学への流入はとどまるところを知らない。 もちろん, 代数幾何学も例外ではない。 それどころか, 伝統的な抽象数学で最も物理学の影響を受けているのは, 代数幾何学かもしれない。

Stack などの道具が物理学でも必要になる時代が来たのは驚くべきことである。 そのような抽象的な代数幾何学の道具を用いて Gromov-Witten invariant を解釈しようという試みもある。Behrend の論文 [BM96; Beh97] そして Costello の論文 [Cos06; Cos07] を見るとよい。

物理学における stack や orbifold については, Sharpe の [Sha02] という解説がある。その主題である string orbifold は, 元々 Dixon と Harvey と Vafa と Witten により [Dix+85; Dix+86] で考えられたものである。

Sharpe は Allen Knutson との共著 [KS98] で, toric variety の上の equivariant sheaf の string theory (heterotic compactification) への応用についても述べている。Sharpe は, 他にも物理における数学の概念について色々解説を書いている。 [Sha09] は, derived category と stack についてのものである。

Bridgeland の triangulated category の stability condition の研究も物理学, 正確には string theory における M.R. Douglas の仕事 [Dou02] に起源を持つ。

最近の発見としては, Tevelev [Tev25] による scattering amplitude と stable curve の moduli space との関連がある。Scattering amplitude については, Arkani-Hamed ら [AT14b; AT14a] による amplituhedron があるが, このようなところにも現れるのは興味深い。

References

[AT14a]

Nima Arkani-Hamed and Jaroslav Trnka. “Into the Amplituhedron”. In: Journal of High Energy Physics 12 (2014), p. 182. arXiv: 1312.7878.

[AT14b]

Nima Arkani-Hamed and Jaroslav Trnka. “The Amplituhedron”. In: Journal of High Energy Physics 10 (2014), p. 030. arXiv: 1312.2007.

[Beh97]

K. Behrend. “Gromov-Witten invariants in algebraic geometry”. In: Invent. Math. 127.3 (1997), pp. 601–617. arXiv: alg-geom/9601011. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050132.

[BM96]

K. Behrend and Yu. Manin. “Stacks of stable maps and Gromov-Witten invariants”. In: Duke Math. J. 85.1 (1996), pp. 1–60. arXiv: alg-geom/9506023. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-96-08501-4.

[Cos06]

Kevin Costello. “Higher genus Gromov-Witten invariants as genus zero invariants of symmetric products”. In: Ann. of Math. (2) 164.2 (2006), pp. 561–601. arXiv: math/0303387. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2006.164.561.

[Cos07]

Kevin Costello. “Topological conformal field theories and Calabi-Yau categories”. In: Adv. Math. 210.1 (2007), pp. 165–214. arXiv: math/0412149. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.06.004.

[Dix+85]

L. Dixon, J. A. Harvey, C. Vafa, and E. Witten. “Strings on orbifolds”. In: Nuclear Phys. B 261.4 (1985), pp. 678–686. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(85)90593-0.

[Dix+86]

L. Dixon, J. Harvey, C. Vafa, and E. Witten. “Strings on orbifolds. II”. In: Nuclear Phys. B 274.2 (1986), pp. 285–314. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(86)90287-7.

[Dou02]

Michael R. Douglas. “Dirichlet branes, homological mirror symmetry, and stability”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. III (Beijing, 2002). Higher Ed. Press, Beijing, 2002, pp. 395–408. arXiv: math/0207021.

[KS98]

Allen Knutson and Eric Sharpe. “Sheaves on toric varieties for physics”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 2.4 (1998), pp. 873–961. arXiv: hep-th/9711036.

[Sha02]

Eric Sharpe. “Discrete torsion, quotient stacks, and string orbifolds”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, pp. 301–331. arXiv: math/0110156. url: https://doi.org/10.1090/conm/310/05409.

[Sha09]

E. Sharpe. “Derived categories and stacks in physics”. In: Homological mirror symmetry. Vol. 757. Lecture Notes in Phys. Springer, Berlin, 2009, pp. 249–272. arXiv: hep-th/0608056.

[Tev25]

Jenia Tevelev. “Scattering amplitudes of stable curves”. In: Geom. Topol. 29.6 (2025), pp. 3063–3128. arXiv: 2007.03831. url: https://doi.org/10.2140/gt.2025.29.3063.