数理物理と代数幾何

近年の数理物理のアイデアの数学への流入はとどまるところを知らない。 もちろん, 代数幾何学も例外ではない。 それどころか, 伝統的な抽象数学で最も数理物理の影響を受けているのは代数幾何かもしれない。

Stack などの道具が数理物理でも必要になる時代が来たのは驚くべきことである。 そのような抽象的な代数幾何学の道具を用いて Gromov-Witten invariant を解釈しようという試みもある。Behrend の論文 [BM96; Beh97] そして Costello の論文 [Cos06; Cos07] を見るとよい。

数理物理における stack や orbifold については, Sharpe の [Shab] という解説がある。その主題である string orbifold は, 元々 Dixon と Harvey と Vafa と Witten により [Dix+85; Dix+86] で考えられたものである。

Sharpe は Allen Knutson との共著 [KS98] で, toric variety の上の equivariant sheaf の string theory (heterotic compactification) への応用についても述べている。Sharpe は, 他にも物理における数学の概念について色々解説を書いている。 [Shaa] は, derived category と stack についてのものである。

References

[Beh97]

K. Behrend. “Gromov-Witten invariants in algebraic geometry”. In: Invent. Math. 127.3 (1997), pp. 601–617. arXiv: alg-geom/9601011. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050132.

[BM96]

K. Behrend and Yu. Manin. “Stacks of stable maps and Gromov-Witten invariants”. In: Duke Math. J. 85.1 (1996), pp. 1–60. arXiv: alg-geom/9506023. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-96-08501-4.

[Cos06]

Kevin Costello. “Higher genus Gromov-Witten invariants as genus zero invariants of symmetric products”. In: Ann. of Math. (2) 164.2 (2006), pp. 561–601. arXiv: math/0303387. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2006.164.561.

[Cos07]

Kevin Costello. “Topological conformal field theories and Calabi-Yau categories”. In: Adv. Math. 210.1 (2007), pp. 165–214. arXiv: math/0412149. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.06.004.

[Dix+85]

L. Dixon, J. A. Harvey, C. Vafa, and E. Witten. “Strings on orbifolds”. In: Nuclear Phys. B 261.4 (1985), pp. 678–686. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(85)90593-0.

[Dix+86]

L. Dixon, J. Harvey, C. Vafa, and E. Witten. “Strings on orbifolds. II”. In: Nuclear Phys. B 274.2 (1986), pp. 285–314. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(86)90287-7.

[KS98]

Allen Knutson and Eric Sharpe. “Sheaves on toric varieties for physics”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 2.4 (1998), pp. 873–961. arXiv: hep-th/9711036.

[Shaa]

E. Sharpe. Derived categories and stacks in physics. arXiv: hep-th/0608056.

[Shab]

Eric Sharpe. Discrete Torsion, Quotient Stacks, and String Orbifolds. arXiv: math/0110156.